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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.5 - Ex. 2

Para o sistema 2 a e 2 b , mostre que qualquer trajetória iniciada no círculo unitário x 2   +   y 2   =   1 percorre o círculo unitário em uma solução periódica. Primeiro, introduza as coordenadas polares e reescreva o sistema como d r d t =   r (   1   -   r 2 ) e - d θ d t   =   -   1

Passo 1

O sistema que precisamos resolver para mostrar o que o exercício pede é descrito no livro e dado por

d x d t = y + x - x ⋅ x 2 + y 2       2 a ,

d y d t =   - x + y - y ⋅ x 2 + y 2     ( 2 b )

Passo 2

Seguindo o que foi recomendado pelo enunciado vamos introduzir as coordenadas polares que são dadas por x = r ⋅ c o s   θ e y = r ⋅ s e n   θ , assim

x = r ⋅ cos ⁡ θ → d x d t = cos ⁡ θ ⋅ d r d t - r ⋅ s e n   θ ⋅ d θ d t

Mas podemos substituir d x d t pela equação ( 2 a ) e teremos

y + x - x ⋅ x 2 + y 2       = cos ⁡ θ ⋅ d r d t - r ⋅ s e n   θ ⋅ d θ d t

Mudando o lado esquerdo da nossa equação pra forma polar teremos

r ⋅ s e n   θ + r ⋅ cos ⁡ θ - r 3 ⋅ cos ⁡ θ s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ   = cos ⁡ θ ⋅ d r d t - r ⋅ s e n   θ ⋅ d θ d t    

r ⋅ s e n   θ + r ⋅ cos ⁡ θ - r 3 cos ⁡ θ = cos ⁡ θ ⋅ d r d t - r ⋅ s e n   θ ⋅ d θ d t       ( i )

Fazendo análise semelhante para y obteremos

y = r ⋅ sen ⁡ θ → d y d t = sen ⁡ θ ⋅ d r d t + r ⋅ c o s   θ ⋅ d θ d t

Mas podemos substituir d y d t pela equação ( 2 b ) e teremos

- x + y - y ⋅ x 2 + y 2 = sen ⁡ θ ⋅ d r d t + r ⋅ cos ⁡ θ ⋅ d θ d t  

Passando para a forma polar o lado esquerdo

- r ⋅ cos ⁡ θ + r ⋅ s e n   θ - r 3 ⋅ s e n   θ =   sen ⁡ θ ⋅ d r d t + r ⋅ cos ⁡ θ ⋅ d θ d t   i i

Vamos resolver, primeiramente, o sistema em d r d t e para isso vamos fazer

cos ⁡ θ ⋅ e q u a ç ã o   i + s e n   θ ⋅ ( e q u a ç ã o   i i )

  sen 2 ⁡ θ ⋅ d r d t + cos 2 ⁡ θ ⋅ d r d t = cos ⁡ θ ⋅ r ⋅ s e n   θ + r ⋅ cos ⁡ θ - r 3 cos ⁡ θ +

                                                                                                                            + s e n   θ ⋅ - r ⋅ cos ⁡ θ + r ⋅ s e n   θ - r 3 ⋅ s e n   θ

Colocando d r d t   em evidência do lado esquerdo obteremos

d r d t = cos ⁡ θ ⋅ r ⋅ s e n   θ + r ⋅ cos ⁡ θ - r 3 cos ⁡ θ + s e n   θ ⋅ - r ⋅ cos ⁡ θ + r ⋅ s e n   θ - r 3 ⋅ s e n   θ

→ d r d t = r - r 3 = r ⋅ ( 1 - r 2 )

Resolvendo, agora, para d θ d t faremos

cos ⁡ θ ⋅ e q u a ç ã o   i i + ( - s e n   θ ) ⋅ ( e q u a ç ã o   i )

→ r ⋅ d θ d t =   - r

d θ d t = - 1

Se r = 1 , ou seja, a trajetória inicia no círculo x 2 + y 2 = 1 , então d r d t   em r = 1 ,

d r d t   e m   r = 1 → 1 1 - 1 2 = 0

Assim, a trajetória permanece no círculo e gira ao redor do mesmo no sentido horário. Como temos d θ d t = - 1 a função é periódica, e como definimos nossos x   e   y ambos são periódicos também.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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