Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 93
O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
onde é o tamanho da população de peixes depois de anos e e são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano seja .
(a) Mostre que se é convergente, então os únicos valores possíveis para seu limite são e .
(b) Mostre que .
(c) Use o item (b) para mostrar que, se , então ; em outras palavras, a população se extingue.
(d) Agora, assuma que . Mostre que, se , então é crescente e . Mostre também que, se , então, é decrescente e . Deduza que, se , então .
Passo 1
(a) Galera, bora calcular os valores possíveis pro limite de ? Pra isso, vamos tomar o limite nos dois lados da equação:
Lembre-se que :
Passo 2
(b) Aqui, como , podemos escrever:
Passo 3
(c) Pessoal, de acordo com o item (a), os únicos valores possíveis do limite são e . Mas, aqui estamos considerando , então nos daria uma população negativa. Então, só nos resta a opção , beleza?
Passo 4
(d) Agora, assumindo que , primeiro vamos tentar mostrar que é crescente quando . Lembre-se que, pra ser crescente, temos que provar que , então vamo lá?
Agora olha que interessante, só será maior que zero quando , ou seja, quando . Ou seja, implicaria, ao mesmo tempo, que é crescente e que .
Olhando pra mesma equação, concluímos que somente quando , ou seja, quando . Da mesma forma, implicaria, ao mesmo tempo, que é decrescente e que .
Sabe o que isso significa? Nosso trabalho simplificou bastante!
Passo 5
Bom, agora vamos tentar provar por indução que . Pra isso, vamos tentar provar que , beleza? Para já é válido, então a partir de agora suporemos válido para , ou seja,
Tentaremos provar pra :
pois nossa hipótese é que , e é uma constante positiva. Então nossa indução está completa.
Como já dito no passo anterior, se , já provamos automaticamente que , pois .
Passo 6
Galera, agora só falta o caso , mas é completamente análogo ao passo anterior, também se faz por indução. Pra , já é válido, pois , agora supomos válido pra :
Prova-se pra :
pois nossa hipótese agora é que . Está feita a indução!
Como já dito no , se , já provamos automaticamente que , pois .
Passo 7
Galera, independente do valor inicial da população, provamos que é monotônica (crescente ou decrescente) e limitada, então ela é convergente. Voltando no item (a), vemos que nos restou a possibilidade:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)