Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.1 - Ex. 77
Demonstre que a função
não tem nem máximos nem mínimos locais.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos mostrar que a função abaixo não tem nem máximos nem mínimos locais:
Bom... aqui usaremos o teorema de Fermat para provar que a função não tem extremos locais.
Relembrando, o teorema de Fermat diz que se a função tiver um extremo local em um ponto, então ou a derivada da função da função não existe neste ponto ou ela se anula.
Observe bem que a função dada é um polinômio (um polinômio estranho, mas é um polinômio). Então ela é contínua e derivável em todos os pontos, de modo que a derivada vai existir.
Então, para que a função tenha extremos locais, a derivada deve se anular em algum ponto, é isso que nós vamos verificar!!!
Passo 2
Queremos ver se a derivada de se anula em algum ponto: então vamos derivá-la!!!
Vimos que como é um polinômio, seus únicos possíveis pontos de máximo ou mínimo locais são tais que .
Então vamos impor essa condição:
Note que essa é uma equação bem esquisita, mas que lembra muito as equações biquadradas que você ter visto no ensino médio.
Passo 3
Vamos fazer a mudança de variável . Assim, a equação fica
Essa equação pode ser resolvida pela fórmula de Bháskara. O discriminante será
Assim,
Todavia, note que .
Assim , de modo que .
Por outro lado, como e é um número par, não podemos extrair a raiz par de um número negativo: a equação não tem solução real.
Assim, vemos que não tem pontos críticos e provamos, pelo teorema de Fermat, que não tem extremos locais!!!
Resposta
Demonstração.