Demonstre que a função

f x = x 4 s e n 1 x           s e   x ≠ 0 0                                                   s e   x = 0

É contínua em (-infinito, infinito) .

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😎

Nesse problema temos que provar que a função

f x = x 4 s e n 1 x           s e   x ≠ 0 0                                                   s e   x = 0

É contínua em todo x ∈ R .

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

Nossa função é composta por um polinômio e um seno. O seno é uma função periódica e contínua em todos os pontos. E os polinômios também são contínuos em todos os pontos.

Então o único ponto em que a nossa função pode não ser contínua é o ponto x = 0 , pois temos o denominador não pode ser nulo, então nesse ponto, a expressão x 4 s e n 1 x não está definida.

Passo 2

Porém, por definição da questão, nossa função f x = 0 quando x = 0 . Então pra que a função seja contínua em x = 0 , precisamos que:

lim x → 0 ⁡ x 4 s e n 1 x = f 0 = 0

Então bora calcular esse limite!

Pra isso vamos calcular o limite de x 4 s e n 1 x para x → 0

lim x → 0 ⁡ x 4 s e n 1 x

Pra usar o teorema do confronto,

vamos lembrar do intervalo de existência do seno:

- 1 ≤ s e n 1 x ≤ 1

Multiplicando todos os lados por x 4 :

- x 4 ≤ x 4 s e n 1 x ≤ x 4

E agora calculando os limites desses lados, temos:

lim x → 0 ⁡ - x 4 ≤ lim x → 0 ⁡ x 4 s e n 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x 4

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 4 s e n 1 x ≤ 0

Portanto, temos:

lim x → 0 ⁡ x 4 s e n 1 x = 0

Logo vemos que f é sim continua em todo domínio.

E aí! o que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

A função f ( x ) é contínua no intervalo, como queremos provar.

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