Enunciado

Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

d) f x = x 3 + 2 x 2 - 4 x + 2

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta f ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta f ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

f ' x = 3 x 2 + 4 x - 4

Antes de fazermos a análise dos intervalos crescentes e decrescentes da função, vamos resolver essa equação do segundo grau para facilitar nossa visualização:

3 x 2 + 4 x - 4 = 0

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a = - 4 + 4 2 - 4.3 . ( - 4 ) 2.3 = 4 6 = 2 3

x 2 = - b - b 2 - 4 a c 2 a = - 4 - 4 2 - 4.3 . ( - 4 ) 2.3 = - 12 6 = - 2

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando f ' x > 0 e quando f ' x < 0 , se liga:

À direita de x = 2 3 temos que f ' x > 0 ;

À esquerda de x = 2 3 temos que f ' x < 0 .

À direita de x = - 2 temos que f ' x < 0 ;

À esquerda de x = - 2 temos que f ' x > 0 .

Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de x qualquer à direita e à esquerda das raízes da função e ver se a função dá positiva ou negativa. Como são vários intervalos, podemos reescreve-los da seguinte forma:

Intervalos crescentes: ( - ∞ ,   - 2 ) ∪ 2 3 ,   + ∞ ;

Intervalos decrescentes: - 2 , 2 3 .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Se observamos o gráfico, notaremos que, de fato, a solução algébrica que chegamos faz sentido! À esquerda de x = - 2 a derivada é positiva, à direita de x = - 2 a derivada é negativa, à esquerda de x = 2 3 a derivada é negativa e, por fim, à direita de x = 2 3 a derivada é positiva, assim como concluímos no passo 2 .

Então essa é a nossa análise, galera! 😉

Resposta

Intervalos crescentes: ( - ∞ ,   - 2 ) ∪ 2 3 ,   + ∞ ;

Intervalos decrescentes: - 2 , 2 3 .

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