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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 29

Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão definidos como:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

r o t   r o t   F → = g r a d d i v   F → - ∇ 2 F →

Passo 1

E aaaaai galera, tudo bem?

Nessa questão devemos demonstrar a seguinte identidade:

r o t   r o t   F → = g r a d d i v   F → - ∇ 2 F →

Admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas, e f é um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais.

E sabendo que:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

Pra mostrar essas identidades, vamos supor que o campo vetorial F → e G → são dessa forma:

F → = F 1 i → + F 2 j → + F 3 k →

Lembrar o que o divergente, o rotacional e o laplaciano de um vetor fazem.

O operador nabla ∇ (que é um vetor de derivadas em x ,   y   e   z ), quando está com produto escalar com um vetor v → ( a , b , c ) , temos o divergente:

d i v   v → = ∇ ⋅ v → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ a , b , c = ∂ ∂ x a + ∂ ∂ y b + ∂ ∂ z c

Quando está com produto vetorial com um vetor v → ( a , b , c ) , vamos ter o rotacional:

r o t   v → = ∇ × v → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z a b c = i → ∂ ∂ y c - ∂ ∂ z b + j → ∂ ∂ z a - ∂ ∂ x c + k → ∂ ∂ x b - ∂ ∂ y a

Já o laplaciano de um vetor retorna um vetor, desse jeito:

∇ 2 v → = ∂ 2 a ∂ x 2 + ∂ 2 a ∂ y 2 + ∂ 2 a ∂ z 2 i → + ∂ 2 b ∂ x 2 + ∂ 2 b ∂ y 2 + ∂ 2 b ∂ z 2 j → + ∂ 2 c ∂ x 2 + ∂ 2 c ∂ y 2 + ∂ 2 c ∂ z 2 k →

E por fim, o gradiente de uma função escalar b retorna um vetor:

∇ b = ∂ b ∂ x i → + ∂ b ∂ y j → + ∂ b ∂ z k →

Uma dica: Estude bem esses conceitos procurando entender, pois eles são muito uteis em cálculo. Como o Teorema do divergente, Teorema de Stokes...

Com esses conceitos você consegue resolver essa! Bora lá!

Passo 2

Vamos avaliar a identidade:

r o t   r o t   F → = g r a d d i v   F → - ∇ 2 F →

O primeiro passo é calcular o rotacional de F → .

Conforme definimos no passo anterior temos:

r o t   F → = ∇ �� F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t   F → = i → ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z + j → ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x + k → ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

E agora aplicar novamente o rotacional:

r o t   F → r o t   F → = ∇ × ∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t   F → r o t   F → = i → ∂ 2 F 2 ∂ y ∂ x - ∂ 2 F 1 ∂ y 2 - ∂ 2 F 1 ∂ z 2 + ∂ 2 F 3 ∂ x ∂ z +

+ j → ∂ 2 F 3 ∂ z ∂ y - ∂ 2 F 2 ∂ z 2 - ∂ 2 F 2 ∂ x 2 + ∂ 2 F 1 ∂ y ∂ x + k → ∂ 2 F 1 ∂ z ∂ x - ∂ 2 F 3 ∂ y 2 - ∂ 2 F 3 ∂ x 2 + ∂ 2 F 2 ∂ z ∂ y

Passo 3

Agora vamos usar um truque!

Vamos somar e subtrair (portanto não muda nada na equação total) os seguintes termos dentro dos colchetes do lado direito:

  • No primeiro colchete: + ��� 2 F 1 ∂ x 2 - ∂ 2 F 1 ∂ x 2
  • No segundo colchete: + ∂ 2 F 2 ∂ y 2 - ∂ 2 F 2 ∂ y 2
  • No terceiro colchete: + ∂ 2 F 3 ∂ z 2 - ∂ 2 F 3 ∂ z 2

Aqui já vou adiantar uma propriedade das derivadas parciais mistas: elas independem da ordem de derivação, ou seja:

∂ 2 a ∂ x ∂ y = ∂ 2 a ∂ y ∂ x

E reorganizar os termos de cada componente (agrupando os termos positivos e negativos):

r o t   F → r o t   F → = i → ∂ 2 F 1 ∂ x 2 + ∂ 2 F 2 ∂ y ∂ x + ∂ 2 F 3 ∂ x ∂ z - ∂ 2 F 1 ∂ x 2 - ∂ 2 F 1 ∂ y 2 - ∂ 2 F 1 ∂ z 2 +

+ j → ∂ 2 F 1 ∂ y ∂ x + ∂ 2 F 2 ∂ y 2 + ∂ 2 F 3 ∂ z ∂ y - ∂ 2 F 2 ∂ x 2 - ∂ 2 F 2 ∂ y 2 - ∂ 2 F 2 ∂ z 2 +

+ k → ∂ 2 F 1 ∂ z ∂ x + ∂ 2 F 2 ∂ z ∂ y + ∂ 2 F 3 ∂ z 2 - ∂ 2 F 3 ∂ x 2 - ∂ 2 F 3 ∂ y 2 - ∂ 2 F 3 ∂ z 2

Comparando com os termos do laplaciano no passo 1 , identificamos que os três últimos termos de cada colchete é - ∇ 2 F → i .

E aplicando a propriedade das derivadas mistas, saca só como vou reescrever os três primeiros termos de cada componente:

r o t   F → r o t   F → = i → ∂ ∂ x ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z - ∇ 2 F 1 +

+ j → ∂ ∂ y ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z - ∇ 2 F 2 + k → ∂ ∂ z ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z - ∇ 2 F 3

Passo 4

Veja só o que encontramos.

Dentro dos parênteses de cada colchete podemos ver as componentes do divergente F → , mas juntando isso com as derivadas parciais do lado de fora, identificamos o gradiente desse divergente!

E como já tínhamos menos o laplaciano de F → , podemos juntar todos esses resultados em um só:

r o t   r o t   F → = g r a d d i v   F → - ∇ 2 F →

Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar.

Resposta

r o t   r o t   F → = g r a d d i v   F → - ∇ 2 F →

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