Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 56
Expresse o número como uma razão de números inteiros.
Passo 1
Oláááá, pessoalzinho!
Aqui queremos escrever esse número como uma razão de números inteiros, ou seja, uma fração. E eu vou te ensinar como usar séries pra fazer isso!
A primeira coisa que precisamos saber é que quando temos esse traço em cima de um número, isso indica que temos uma dízima, ou seja, que esses números abaixo do traço se repetem infinitamente. No nosso caso, temos:
Esse número pode ser escrito como uma soma. Como se repete a cada 5 casas decimais, somamos esses números várias vezes sempre aumentando 5 zeros de um termo da soma para o outro.
Percebe que, com exceção do primeiro termo, que é nossa parte inteira, cada termo igual ao anterior, mas multiplicado de 0,00001? Lembra que tipo de série tem esse padrão de um termo multiplicado por uma razão fixa? A série geométrica!
Esse tipo de série converge se .
Por fim, esse tipo de série tem expressão pronta para cálculo da soma:
Achamos a soma da série geométrica com essa expressão e ela vai ser nossa forma de escrever nossa dizima periódica como uma razão de números inteiros.
De boa? Bora lá!
Passo 2
E se essa soma pudesse ser transformada numa série? Vamos olhar como o primeiro termo da série . O segundo termo é o primeiro termo multiplicado por , correto? A mesma coisa vale para o terceiro termo. Então,
Ou seja, temos aqui uma série geométrica de razão ! Como a razão da série é menor que , temos que a série é convergente!
Passo 3
Agora que sabemos que a série é convergente, vamos calcular a soma dela para determinarmos a razão dos números inteiros que geram essa dízima.
Lembra que temos uma série geométrica? Para o cálculo da soma podemos usar a equação dada no passo 1. Com e , podemos calcular:
Então, a soma da série geométrica com a parte inteira que separamos é:
Somando os dois termos como uma soma de frações:
Por fim, conseguimos nossa razão de números inteiros:
Resposta
A razão de números inteiros é igual a: