Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 19

Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão quer que demonstremos que a equação abaixo tem exatamente uma raiz real:

Para mostrar que a equação fornecida tem exatamente uma raiz real, podemos usar o Teorema do Valor Intermediário e o fato de que a função é contínua em todos os números reais.

Continuidade: A função é uma soma de uma função linear e uma função contínua

Sabemos que uma função linear é contínua em todos os números reais, e a função cosseno é contínua em todos os números reais também. Portanto, a função é contínua em todos os números reais, o que significa que não há saltos ou descontinuidades no gráfico de .

Passo 2

Mudança de sinal: Para mostrar muda de sinal, precisamos encontrar dois valores de onde é positivo em um e negativo no outro. Isso significa que passa de um lado do eixo para o outro em algum ponto entre esses dois valores. Essa mudança de sinal indica a existência de uma raiz real entre esses dois valores.

- Primeiramente, avaliamos em que é positivo.

- Em seguida, avaliamos em , que é negativo.

Passo 3

Portanto, muda de sinal entre indicando que deve haver pelo menos um valor de no intervalo para o qual ou seja, uma raiz real.

Além disso, podemos argumentar que é uma função crescente em todo o seu domínio, pois a derivada de é sempre positiva.

Isso significa que após a primeira raiz (que encontramos entre e só aumenta, garantindo que não haja outra raiz. Portanto, há exatamente uma raiz real para a equação