Mostre que, para um movimento em uma reta com aceleração constante a , velocidade inicial v 0 e deslocamento inicial s 0 , o deslocamento depois de um tempo t é

s = 1 2 a t 2 + v 0 + s 0

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos que mostrar que para um movimento em uma reta com aceleração constante a , velocidade inicial v 0 e deslocamento inicial s 0 , o deslocamento depois de um tempo t é

s = 1 2 a t 2 + v 0 + s 0

Parece complicado?

Nosso ponto de partida nessa questão é que a t = a e temos que lembrar de algumas propriedades físicas...

Derivando a função posição, obtemos a função velocidade; derivando a função velocidade, obtemos a função aceleração.

Perceba que agora temos que fazer o caminho inverso... então para resolver esse problema vamos calcular a função primitiva de a t para obter v t e depois a primitiva de v t para obter s t .

Como vamos partir de uma constante, para obter as funções primitivas temos que usar a regra inversa da regra da potência.

a x n → a x n + 1 n + 1

Para n ≠ - 1 .

Veja só!

Passo 2

Vamos partir do fato da aceleração ser constante

a t = a

Derivando a velocidade conseguimos a fórmula da aceleração

v ' t = a t = a

Dessa forma se obtermos a antiderivada de v ' vamos obter v ...

Aplicando a regrinha do passo 1.

v t = a t 0 + 1 0 + 1 + C

v t = a t + C

Se v 0 = v 0 = C , temos que

v t = a t + v 0

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora se derivarmos a função posição vamos obter a função velocidade, ou seja

s ' t = v t

Calculando a antiderivada de v pela regra do passo 1:

s t = a t 1 + 1 1 + 1 + v 0 t 0 + 1 0 + 1 + D

s t = 1 2 a t 2 + v 0 t + D

Se s 0 = s 0 = D ...

s = 1 2 a t 2 + v 0 + s 0

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

s = 1 2 a t 2 + v 0 + s 0

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