Estabeleça as seguintes regras para trabalhar com as diferenciais (onde c denota uma constante e u e v são funções de x).

  1. dc = 0
  2. d(cu) = c du
  3. d(u + v) = du + dv
  4. d(u v) = u dv + v du
  5. d(u/v) = (v * du - u * dv) / v²
  6. d(x^n) = n * x^(n - 1) . dx

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Basicamente o que iremos fazer nessa questão é provar as ‘regras’ de diferenciais que são apresentadas nesta atividade.

Muito bem, como nós estudamos nesta seção a diferencial é dada por:

f ' x = d y d x

Ou seja:

d y = f ' x . d x

Esta relação é válida para todos os casos que estão citados aqui.

Passo 2

Vamos analisar um por um, começando pela letra a:

d c = c ' . d x

Vamos nomear esta derivada c ' como d c d x . Mesma coisa, concordam?

d c = d c d x . d x

Agora qual é a derivada de uma constante qualquer?

d c d x = 0

Substituindo:

d c = 0 . d x = 0

Passo 3

Na letra b faremos igual:

d c u = d ( c u ) d x . d x

As constantes podem sair da derivada:

d c u = c d u d x . d x

O d x está no numerador e no denominador, então podemos cortar, certo?

d c u = c d u

Passo 4

Na letra c, também podemos usar o mesmo procedimento:

d u + v = d u + v d x . d x

Vamos usar a Regra de derivação da soma:

d u + v = d u d x + d v d x . d x

Fazendo a distributiva:

d u + v = d u d x . d x + d v d x . d x

O dx nós podemos cortar:

d u + v = d u + d v

Passo 5

Já estamos quase acabando. Bora pra letra d:

d u v = d u v d x . d x

Usando a Regra do Produto:

d u v = u d v d x + v d u d x . d x

Fazendo a distributiva:

d u v = u d v d x . d x + v d u d x . d x

O dx nós tiramos:

d u v = u d v + v d u

Passo 6

Para a letra e:

d u v = d u v d x . d x

Aqui nós devemos usar a Regra do Quociente:

d u v = v d u - u d v v 2 d x . d x

Reorganizando:

d u v = v d u - u d v v 2 . d x . d x

Cortando nosso querido dx:

d u v = v d u - u d v v 2

Passo 7

Finalizamos com a letra f:

d x n = d x n d x . d x

Se lembram o que usar nestes casos?

Acertou quem disse a Regra da Potência:

d x n = n x n - 1 . d x

E fiiim!

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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