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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.11 - Ex. 4

Encontre o valor numérico de cada expressão.

  1. c o s h   3 ;
  2. c o s h   ( ln ⁡ 3 )

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema foram dadas as expressões

cosh ⁡ 3 ,     cosh ⁡ ln ⁡ 3

E nosso objetivo é encontrar seus valores exatos...

Tem ideia de como fazemos isso?

Para resolver esse problema temos que lembrar das expressões hiperbólicas das funções trigonométricas...

No caso temos apenas o cosseno hiperbólico, então temos que lembrar que

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

A partir dessa expressão, substituímos os valores de x e determinamos os resultados...

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Primeiramente vamos calcular cosh ⁡ 3

Aplicando na expressão de cosh ⁡ x , temos

cosh ⁡ 3 = e 3 + e - 3 2

cosh ⁡ 3 = e 3 + 1 e 3 2

Tirando o MMC:

cosh ⁡ 3 = e 6 + 1 e 3 2 = e 6 + 1 2 e 3

Com auxílio da calculadora obtemos que

cosh ⁡ 3 = 403,429 + 1 2 × 20,086 = 10,068

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora faremos a mesma análise para cosh ⁡ ln ⁡ 3 .

cosh ⁡ ln ⁡ 3 = e ln ⁡ 3 + e - ln ⁡ 3 2

Usando as propriedades do logaritmo o número que estão multiplicando o ln poderá ser transferido para o expoente, vamos ver?

cosh ⁡ ln ⁡ 3 = e ln ⁡ 3 + e ln ⁡ 3 - 1 2

Ainda usando as propriedades, sabemos que:

e ln ⁡ x = x

Então:

cosh ⁡ ln ⁡ 3 = 3 + 3 - 1 2 = 3 + 1 3 2

Fazendo o MMC:

cosh ⁡ ln ⁡ 3 = 10 3 × 1 2 = 10 6

cosh ⁡ ln ⁡ 3 = 5 3

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

  1. c o s h   3 = 10,068 ;
  2. c o s h   ln ⁡ 3 = 5 3 .
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Demonstre a identidadec o s h (- x) = c o s h ( x )
Demonstre a identidade:s e n h (- x) = - s e n h ( x )
Demonstre a identidade:cotgh^2 x - 1 = cossech^2 x
9) Demonstre a identidade:cosh x + senh x = e^x
Demonstre a identidadet g h (x + y) = (t g h x + t g h y)/(1 + t g h x . t g h y)