Demonstre que

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Passo 1

Olá, meu amigo, Yuri aqui e eu estarei lhe ajudando na resolução desta atividade.

O enunciado pede para usarmos a definição de limite para demonstrar que o limite de ln ⁡ x ‘explode’ para - ∞ quando x → 0 + .

Normalmente quando o enunciado pede para que nós demonstremos algo ele quer dizer para que façamos isso pelo método formal matemático, aqui iremos fazer tanto de uma forma lúdica, utilizando o gráfico, quanto da forma mais matemática, utilizando a definição de limites.

Abaixo você ver o gráfico da função ln ⁡ x :

Vou dar um zoom nesse grafico para que possamos observar o comportamento da função quando nos aproximamos de 0   , pela direita, pois é isso que significa o 0 + .

O que podemos observar é que a medida que vamos ficando mais perto de 0, maiores são os valores de y   , tão grandes que caminhamos para - ∞   .

Agora iremos partir para a definição formal!

Passo 2

A definição precisa de limite diz que lim x → a ⁡ f x irá para ∞   em situações em que para todo N < 0 , existe um δ > 0 tal que se 0 < x - a < δ , então f x < N

Em outras palavras, o que essa definição diz é que qualquer número negativo N , deve existir um intervalinho próximo x = a tal que o valor da função seja menor que N . Como N é arbitrário, os valores da função podem ser tomados tão pequenos quanto desejarmos e, assim, ela tenderá a - ∞ .

Assim, o que devemos fazer é achar δ (possivelmente em função de N ) tal que 0 < x - a < δ implica f x < N .

Passo 3

Seja N < 0   e 0 < x - 0 < δ além de f x < N

Seja então N < 0   um número real qualquer, podemos observar que por conta da propriedade dos logaritmos e ln ⁡ x = x

x = e ln ⁡ x < e N

Observe que a sugestão para δ = e N dada acima. Então utilizando a definição e o valor de δ  

0 < x < δ

0 < x < δ = e N

f x = ln ⁡ x < N

Então, para qualquer N < 0   , existe um δ > 0   (nesse caso δ = e N ) tal que 0 < x < δ   que implica que ln ⁡   x   < N . Podemos confirmar o que pensamos visualizando o gráfico de ln ⁡ x novamente:

Resposta

Demonstração.

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