Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 73
Demonstre que
para todo inteiro positivo. Isso mostra que a função exponencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de .
Passo 1
Falaaaa moçadinha, show de bola?
Como diz o Homem de ferro “Eu tenho um plano. Ataque!”
Bora atacar esse problemaaaaaaa junto comigoo.
A questão pede para demonstrar que:
para todo inteiro positivo.
Isso significa que, conforme cresce indefinidamente, a razão entre a função exponencial e qualquer potência de também cresce indefinidamente.
Em outras palavras, a função exponencial tende ao infinito muito mais rapidamente do que qualquer função polinomial
Para demonstrar isso, precisamos entender algumas propriedades fundamentais das funções exponenciais e polinomiais.
A função exponencial cresce muito mais rapidamente do que qualquer polinômio conforme tende ao infinito.
Vamos utilizar a teoria do cálculo para provar isso.
Uma das abordagens clássicas para resolver esse tipo de limite é usando o Teorema de L'Hôpital, que é aplicado em situações onde obtemos formas indeterminadas como ou .
Teorema de L'Hôpital: Se
resulta em uma forma indeterminada ou , então:
Se este limite existir.
Passo 2
Vamos aplicar o Teorema de L'Hôpital ao limite dado:
Como e são ambas funções que tendem ao infinito conforme cresce, estamos lidando com uma forma indeterminada .
Portanto, podemos aplicar o Teorema de L'Hôpital.
Vamos aplicar o Teorema de L'Hôpital passo a passo.
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
1. Derivada de
2. Derivada de
Aplicando o Teorema de L'Hôpital:
Ainda estamos com uma forma indeterminada .
Passo 3
Aplicamos o Teorema de L'Hôpital novamente:
1. Derivada de continua sendo
2. Derivada de é
Aplicando o Teorema de L'Hôpital mais uma vez:
Percebe-se que, a cada aplicação do Teorema de L'Hôpital, a potência de no denominador diminui de um grau, enquanto o numerador permanece
Após aplicações, obtemos:
Onde é o fatorial de (produto de todos os inteiros positivos até ).
Passo 4
Agora, temos uma função exponencial no numerador e uma constante no denominador.
Conforme então:
Portanto,
Isso demonstra que a função exponencial cresce muito mais rapidamente do que qualquer potência de
Concluímos que:
para qualquer inteiro positivo, mostrando que a função exponencial tende ao infinito muito mais rapidamente do que qualquer função polinomial.
“Às vezes é preciso aprender a correr antes de começar a andar”
Resposta
Vide a demonstração.