Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x

Passo 1

Oiiie, vamos

Para encontrar o limite

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x

Podemos usar a regra de L'Hôpital. Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

Derivada do numerador:

d d x ( ln ⁡ x ) = 1 x

Derivada do denominador:

d d x x = 1 2 x

Passo 2

Derivando o numerador:

d d x ( ln ⁡ x ) = 1 x

Derivando o denominador:

d d x x = 1 2 x

Agora, ao aplicar a regra de L'Hôpital, obtemos:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x = lim x → ∞ ⁡ 1 x 1 2 x

lim x → ∞ ⁡ 1 x 1 2 x  

Simplificando, obtemos::

lim x → ∞ ⁡ 1 x 1 2 x = lim x → ∞ ⁡ 2 x x = lim x → ∞ ⁡ 2 x

Passo 3

Agora, podemos ver que ambos os termos no numerador e no denominador vão para zero à medida que x se aproxima do infinito. Então, podemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente:

Derivada do numerador:

d d x 2 x

= 2 2 x

= 1 x

Derivada do denominador:

d d x x = 1

Agora podemos calcular o limite:

lim x → ∞ ⁡ 2 x = 0

Prontinho!

Passo 4

Aplicando a regra de L'Hôpital novamente, obtemos:

lim x → ∞ ⁡ 2 x x

lim x → ∞ ⁡ 1 x x

lim x → ∞ ⁡ 1 x = 0

Portanto,

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0

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