Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 57
Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropiado. Se houver um método mais elementar, considere utulizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
Falaii galerinha do Responde ai, tudo belezinha?
A questão pede para encontrar o limite da função
Quando se aproxima de pela direita, ou seja, .
Além disso, sugere o uso da Regra de L’Hôpital quando apropriado e menciona considerar métodos mais elementares se forem aplicáveis.
Primeiro, precisamos entender o comportamento da função quando se aproxima de pela direita.
O método da Regra de L’Hôpital pode ser usado quando temos uma indeterminação do tipo
Vamos verificar a indeterminação da função dada e explorar outras possíveis simplificações.
Passo 2
Vamos analisar o limite da função dada:
A função é uma forma indeterminada do tipo quando
Para lidar com isso, podemos usar uma transformação logarítmica que nos permitirá simplificar o problema.
Transformação Logarítmica
Tomamos o logaritmo natural de:
Usando a propriedade dos logaritmos, temos:
Nosso objetivo agora é encontrar o limite de e depois voltar para .
Então, vamos analisar o limite de quando
Passo 3
Vamos reescrever a expressão:
Agora, como temos que
E
Isto nos dá uma forma indeterminada do tipo .
Passo 4
Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital aqui.
Aplicamos a Regra de L’Hôpital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente:
Numerador: tem a derivada .
Denominador: é o mesmo que que tem a derivada
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Simplificando a fração:
Passo 5
Agora, encontramos o limite de quando
Portanto,
Voltamos à nossa transformação logarítmica:
Então,
Conclusão
O limite pedido é:
Portanto, o valor do limite é
“O coelho está certo, e ele é claramente o mais inteligente entre vocês!”
