Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 52
- Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são semelhantes?
- Se é continuo em e
para , mostre que .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Em termos gerais, o Teorema de Fubini diz que a ordem de integração de uma função de duas variáveis não afeta o valor da integral dupla. Já o Teorema de Clairaut diz que a ordem de derivação de uma função não afeta o valor da derivada de segunda ordem.
Além disso, ambos os teoremas requerem continuidade para serem aplicados. O teorema de Fubini permite que um número finito de curvas suaves contenha descontinuidade, mas em termos gerais podemos considerar estas semelhanças.
Passo 2
Neste passo resolveremos o item b.
Para descobrir , mantemos constante e usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para uma variável.
Temos que:
Agora usaremos o Teorema novamente:
Logo:
Para descobrir podemos aplicar o Teorema de Fubini que é:
Aplicando ao problema, temos:
Logo:
E:
Logo:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)