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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 69

Demonstre a propriedade 3 das integrais.

Passo 1

A propriedade 3 das integrais no diz que se tivermos uma constante c e uma função integrável f x , então:

∫ a b c f x   d x = c ∫ a b f x   d x

Passo 2

Para demonstrar isso, basta, escrevermos a primeira integral como limite do somatório:

∫ a b c f x   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n c f x i Δ x =

= lim n → ∞ ⁡ ( c f x 1 Δ x + c f x 2 Δ x + c f x 3 Δ x + … + c f x n - 1 Δ x + c f x n Δ x )

= lim n → ∞ ⁡ c ( f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + f x 3 Δ x + … + f x n - 1 Δ x + f x n Δ x )

= c lim n → ∞ ⁡ ( f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + f x 3 Δ x + … + f x n - 1 Δ x + f x n Δ x )

= c lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x = c ∫ a b f x   d x

Logo, comprovamos que:

∫ a b c f x   d x = c ∫ a b f x   d x

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A função dada é integrável? Justifique.b) f x = e - x 2 ,0 ≤ x ≤ 4
A função dada é integrável? Justifique.h)f x = 1 x 2 s ex ≤ 1 , x ≠ 0 3 s ex = 0
A função dada é integrável? Justifique.e) f x =0s ex = 0s e n 1 x s e 0x ≤ 1
A função dada é integrável? Justifique.f)f x =0s ex = 0 1 x s e n 1 x s e 0x ≤ 2 π
A função dada é integrável? Justifique.g)f x = x 2 s e- 1 ≤ x0 5 s ex = 0 2 s e0x ≤ 1