Enunciado

Use a definição 8 para demonstrar que lim x → - ∞ ⁡ 1 x = 0

Passo 1

Olá, meu brother. Vamos para mais uma resolução.

Aqui a gente precisa utilizar a definição 8, para provar o limite:

lim x → - ∞ ⁡ 1 x = 0

Primeiro de tudo, vamos dar uma olhada em quem é a definição 8. Ela diz que:

Seja f uma função definida em algum intervalo ( - ∞ , a ) . Então

lim x → - ∞ ⁡ f x = L

Significa que para todo ε > 0 existe um correspondente número N tal que

Se

x < N

Então

f x - L < ε

Resumindo, temos um limite finito para uma função, quando caminhamos cada vez mais para valores cada vez menores, negativos. Isso é, quando caminhamos indefinidamente no eixo y .

Iremos então utilizar essa definição, e provarmos o limite que nos foi dado.

Passo 2

Usando a definição, dado que ϵ > 0 nós queremos encontrar um N tal que:

Se

x < N

Então

1 x - 0 < ε

Basicamente o que fizemos foi utilizar dessa parte da definição:

f x - L < ε

E substituirmos com os valores da nossa situação. Podemos assumir que x < 0 . Então teremos:

1 x = - 1 x

Por conta das propriedades do modulo.

Dando continuidade:

1 x - 0 < ε

x < - 1 ε

Vamos então escolher N = - 1 ε . Então:

Se

x < N = - 1 ε

Então

1 x - 0 = - 1 x < ε

E pela definição, conseguimos provar que:

lim x → - ∞ ⁡ 1 x = 0

Resposta

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underset(x - 2)(l i m) (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 2 x^2)
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