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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.4 - Ex. 51

Utilize o exercício 46 para demonstrar que

a xx (b xx c) + b xx (c xx a) + c xx ( a xx b ) = 0

Passo 1

Vamos definir o nosso vetor a como sendo

a = (a_1 , a_2 , a_3)

Nosso vetor b como sendo

b = ( b_1 , b_2 , b_3 )

E nosso vetor c como sendo

c = ( c_1 , c_2 , c_3 )

Passo 2

Do exercício 46, temos que

a xx (b xx c) = (a * c) b - (a * b) c

Assim, por analogia, podemos dizer que

b xx (c xx a) = (b * a) c - (b * c) a

E

c xx ( a xx b ) = (c * b) a - (c * a) b

Tudo tranquilo, tudo bacana?

Passo 3

Substituindo esses resultados na equação da questão:

a xx (b xx c) + b xx (c xx a) + c xx (a xx b) = [(a * c) b - (a * b) c] + [(b * a) c - (b * c) a] + [(c * b) a - (c * a) b]

Organizando esse negócio aí:

a xx (b xx c) + b xx (c xx a) + c xx (a xx b) = (a * c) b - (c * a) b + (b * a) c - (a * b) c + (c * b) a - (b * c) a

Passo 4

Acontece que no produto escalar a ordem dos fatores não altera o resultado, então significa que na real, feito esses produtos escalares, teríamos algo assim:

a xx (b xx c) + b xx (c xx a) + c xx (a xx b) = (a * c) b - (c * a) b + (b * a) c - (a * b) c + (c * b) a - (b * c) a = A b - A b + B c - B c + C a - C a = 0

ou seja,

a xx (b xx c) + b xx (c xx a) + c xx ( a xx b ) = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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