Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.)
Passo 1
Para determinarmos o ângulo entre dois vetores, precisamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores e , cujo ângulo entre eles seja também pode ser dado por:
Como temos os vetores e , podemos calcular:
Agora só precisamos calcular o módulo dos vetores:
Passo 2
Agora tudo ficou mais simples. Basta substituirmos os valores na primeira equação:
Logo é o arco, cujo satisfaz a equação acima. Então:
Resposta
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Dado u → ≠ 0 → , considere o conjunto A dos vetores ortogonais a u → . Prove que, quaisquer que sejam v → e w → de A , u → ∧ v → = u → ∧ w → ⇒ v → = w → (esta é uma situação muito especial, em que se
a) Prove que, se θ = a n gu → ,v → , então u → 2 v → 2 - u → ⋅ v → 2 = u → 2 v → 2s e n 2 θ . Conclua que, na Definição 11-1, a condição ( b 1 ), pode ser substituída por u → ∧ v → 2 = u → 2 v → 2 - u
Sejam B uma base ortonormal positiva, u → = 1 ,- 3 2 , 1 2 B ,v → = 6 ,- 2 ,- 4 B e w → = 1 7 , 2 7 , 3 7 B .Calcule ( u → ∧ v → ) ∧ w → e u → ∧ ( v → ∧ w → ) diretamente e, depois, utilizando [11-12]
Prove que:a) (vec u ^^ vec v) ^^ (vec w ^^ vec t) = - [vec v . (vec w ^^ vec t)] vec u + [vec u . (vec w ^^ vec t)] vec v b) (vec u ^^ vec v) ^^ (vec w ^^ vec t) = [(vec u ^^ vec v) . vec t] vec w - [
Prove que:a) vec u ^^ [vec v ^^ (vec w ^^ vec t)] = (vec v . vec t) vec u ^^ vec w - ( vec v . vec w ) vec u ^^ vec t b) vec u ^^ [vec v ^^ (vec w ^^ vec t)] = [vec u . (vec w ^^ vec t)] vec v - ( vec