Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 28
Demonstre que a série obtida no Exercício 11 representa para todo .
Passo 1
E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!
No exercício 11 encontramos a série
Para que essa série representa a função, precisamos provar que seu erro para todo , e nós conseguimos fazer isso usando a Desigualdade de Taylor que diz que se , então
Como o centro é
Antes de continuarmos. Precisamos entender o papel de na Desigualdade de Taylor. é uma constante que representa um limite superior para o valor absoluto da -ésima derivada da função em um intervalo . Em outras palavras, é uma estimativa para o máximo valor absoluto das derivadas de em .
Passo 2
Para isso, precisamos saber como se comportam as derivadas de , se derivarmos várias vezes, chegaremos sempre em ou então de forma geral
ou
Pelas definições das funções hiperb��licas, tiramos que
Mas temos que para todo
Logo
Como precisa ser um valor constante, vamos pegar um valor que obedeça , então podemos dizer que
E podemos usar
Então na desigualdade temos
Passo 3
Agora só precisamos aplicar o limite, para calcularmos o erro em uma série infinita. Temos que para uma função do tipo
Quando temos que , como o lado direito da desigualdade segue esse padrão só muda que temos , que é constante então pode sair do limite, e se o limite é temos que , então por comparação
Logo, a série
representa a função para todo .
Resposta
A série representa a função para todo .