Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 28

Demonstre que a série obtida no Exercício 11 representa para todo .

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!

No exercício 11 encontramos a série

Para que essa série representa a função, precisamos provar que seu erro para todo , e nós conseguimos fazer isso usando a Desigualdade de Taylor que diz que se , então

Como o centro é

Antes de continuarmos. Precisamos entender o papel de na Desigualdade de Taylor. é uma constante que representa um limite superior para o valor absoluto da -ésima derivada da função em um intervalo . Em outras palavras, é uma estimativa para o máximo valor absoluto das derivadas de em .

Passo 2

Para isso, precisamos saber como se comportam as derivadas de , se derivarmos várias vezes, chegaremos sempre em ou então de forma geral

Pelas definições das funções hiperb��licas, tiramos que

Mas temos que para todo

Logo

Como precisa ser um valor constante, vamos pegar um valor que obedeça , então podemos dizer que

E podemos usar

Então na desigualdade temos

Passo 3

Agora só precisamos aplicar o limite, para calcularmos o erro em uma série infinita. Temos que para uma função do tipo

Quando temos que , como o lado direito da desigualdade segue esse padrão só muda que temos , que é constante então pode sair do limite, e se o limite é temos que , então por comparação