Demonstre que a série obtida no Exercício 11 representa x para todo x .

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!

No exercício 11 encontramos a série

x   = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Para que essa série representa a função, precisamos provar que seu erro R n → 0 para todo x , e nós conseguimos fazer isso usando a Desigualdade de Taylor que diz que se f n + 1 ( x ) ≤ M , então

R n x ≤ M n + 1 ! x - a n + 1

Como o centro é x = 0

R n x ≤ M n + 1 ! x n + 1

Antes de continuarmos. Precisamos entender o papel de M na Desigualdade de Taylor. M é uma constante que representa um limite superior para o valor absoluto da n + 1 -ésima derivada da função f x em um intervalo I . Em outras palavras, M é uma estimativa para o máximo valor absoluto das derivadas de f x em I .

Passo 2

Para isso, precisamos saber como se comportam as derivadas de x   , se derivarmos várias vezes, chegaremos sempre em x   ou c o s h c o s h   x   então de forma geral

f n + 1 x = x  

ou

f n + 1 x = c o s h c o s h   x  

Pelas definições das funções hiperb��licas, tiramos que

x   < c o s h c o s h   x  

Mas temos que c o s h c o s h   x   > 0 para todo x

x   < c o s h c o s h   x   = c o s h c o s h   x  

Logo

f n + 1 x ≤ c o s h c o s h   x  

Como M precisa ser um valor constante, vamos pegar um valor c que obedeça x < c , então podemos dizer que

f n + 1 x ≤ c o s h c o s h   c  

E podemos usar

M = c o s h c o s h   c  

Então na desigualdade temos

R n x ≤ c o s h c o s h   c   n + 1 ! x n + 1

Passo 3

Agora só precisamos aplicar o limite, para calcularmos o erro em uma série infinita. Temos que para uma função do tipo

g x = x n n !

Quando n → ∞ temos que g x → 0 , como o lado direito da desigualdade segue esse padrão só muda que temos c o s h c o s h   c   , que é constante então pode sair do limite, e se o limite é 0 temos que c o s h c o s h   c   ⋅ 0 = 0 , então por comparação

R n x   = 0

Logo, a série

∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

representa a função x   para todo x .

Resposta

A série ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! representa a função x   para todo x .

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