Encontre a série de Maclaurin usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
A série de Maclaurin é da forma
Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir
Podemos perceber o padrão, de forma geral para as derivadas pares e para as ímpares .
Passo 2
Então a série para a função é
Para calcular o raio, vamos usar o teste da razão
O limite é para todo então a série de Maclaurin para o converge para todo , portanto seu raio é infinito.
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.45. π / 3 - (π^3 / (3^3 ⋅ 3!)) + (π^5 / (3^5 ⋅ 5!)) - (π^7 / (3^7 ⋅ 7!)) ⋅ ⋅ ⋅
De acordo com o teorema da estimativa de séries alternadas, quantos termos da série de Taylor para tg^(-1) 1 teriam de ser adicionados para se ter certeza de encontrar pi / 4 com um erro de magnitude
Utilize a Equação 4 para mostrar que cos(θ) = (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2 e sen(θ) = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (2i) .
Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.29.lim x→0 (e^x - (1 + x)) / (x^2)
Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.38. lim(x - 2) [(x^2 - 4) / ln(x - 1)]