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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 5

Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = 1 - x - 2

Passo 1

Faaalaaa turminha, tudo na paz? Partiu resolver essa questão juntos!

Bora entender o enunciado? Ele nos forneceu uma função f ( x ) e pediu a sua série de Maclaurin usando a definição de série, e também que calculemos o raio de convergência associado.

Como podemos iniciar? Pense comigo, ele pediu a série a partir da definição

A série de Maclaurin é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Agora, nosso objetivo é calcular derivadas até achar um padrão, montar e organizar a série de Maclaurin. Por fim, aplicar o teste da razão para obter o raio de convergência.

Partiu fazer isso!?

Passo 2

A série de Maclaurin é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = 0

f x = 1 - x - 2 = 1 1 - x 2 ⇒ f 0 = 1

f ' x = - 2 1 - x - 3 - 1 = 2 1 - x 3 ⇒ f ' 0 = 2 = 2 !

f ' ' x = - 3 ⋅ 2 1 - x - 4 - 1 = 3 ⋅ 2 1 - x 4 ⇒ f ' ' 0 = 3 ⋅ 2 = 3 !

f ' ' ' x = - 4 ⋅ 3 ⋅ 2 1 - x - 5 - 1 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 1 - x 5 ⇒ f ' ' ' 0 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 4 !

Podemos perceber o padrão, de forma geral temos f n 0 = n + 1 !

Então a série para a função é

f x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 ! n ! x n = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n

Passo 3

Agora vamos calcular o raio, vamos usar o teste da razão

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

lim n → ∞ ⁡ n + 2 x n + 1 n + 1 x n

lim n → ∞ ⁡ n + 2 x n + 1

L = x lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 = x

Então temos que para convergir x < 1

Logo, L = 1

R = 1 L

então o raio da série é 1 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n

R = 1

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