Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 5
Encontre a série de Maclaurin usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Faaalaaa turminha, tudo na paz? Partiu resolver essa questão juntos!
Bora entender o enunciado? Ele nos forneceu uma função e pediu a sua série de Maclaurin usando a definição de série, e também que calculemos o raio de convergência associado.
Como podemos iniciar? Pense comigo, ele pediu a série a partir da definição
A série de Maclaurin é da forma
Agora, nosso objetivo é calcular derivadas até achar um padrão, montar e organizar a série de Maclaurin. Por fim, aplicar o teste da razão para obter o raio de convergência.
Partiu fazer isso!?
Passo 2
A série de Maclaurin é da forma
Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir
Podemos perceber o padrão, de forma geral temos
Então a série para a função é
Passo 3
Agora vamos calcular o raio, vamos usar o teste da razão
Então temos que para convergir
Logo,
então o raio da série é .