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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 78a

Mostre que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação da onda u t t = a 2 u x x .

(a) u = sen ⁡ k x sen ⁡ a k t

Passo 1

Show de bola, galera! Não tem mistério.... A questão nos deu a função

u = sen ⁡ k x sen ⁡ a k t

e pediu para mostrar que ela é uma solução da equação da onda,

u t t = a 2 u x x

Dessa forma, vamos calcular as derivadas primeiras de u com respeito a t e x . Após isso, calculamos a derivada segunda com respeito a essas mesmas variáveis. Com esses resultados, podemos verificar se a função dada é solução da equação da onda.

Partiu fazer essas contas?

Passo 2

Vamos começar pela derivada primeira com relação a t :  

u t = ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t sen ⁡ k x sen ⁡ a k t

u t = sen ⁡ k x   ∂ ∂ t sen ⁡ a k t

Essa derivada resulta em

u t = a k sen ⁡ k x cos ⁡ a k t

Agora derivamos novamente para obter u t t :

u t t = ∂ ∂ t ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t a k sen ⁡ k x cos ⁡ a k t

Efetuando a derivada parcial com respeito a t em cos ⁡ a k t , obtemos

u t t = - a 2 k 2 sen ⁡ k x sen ⁡ a k t

Passo 3

Agora vamos repetir os procedimentos para a variável x :  

u x = ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ k x sen ⁡ a k t

Derivando com relação a x , obtemos:

u x = k cos ⁡ k x sen ⁡ a k t

Derivando novamente obtemos u x x :  

u x x = ∂ ∂ x ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x k cos ⁡ k x sen ⁡ a k t

u x x = - k 2 sen ⁡ k x sen ⁡ a k t

Passo 4

Juntando os resultados dos passos anteriores, podemos substituir na equação da onda:

u t t = a 2 u x x

- a 2 k 2 sen ⁡ k x sen ⁡ a k t = a 2 - k 2 sen ⁡ k x sen ⁡ a k t ⏟ O K  

Vemos que os dois lados são iguais, então a função u é uma solução da equação da onda.

Resposta

Como queríamos mostrar:

- a 2 k 2 sen ⁡ k x sen ⁡ a k t = a 2 - k 2 sen ⁡ k x sen ⁡ a k t

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Exercício de Livro
Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace u x x + u y y = 0 u = x 2 + y 2 u = x 2 - y 2 u = x 3 + 3 x y 2 u = ln ⁡ x 2 + y 2
(a) Quantas derivadas de n -ésima ordem tem uma função de duas variáveis?(b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?(c) Responda a parte (a) da questão para uma