Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 18
Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de . [Suponha que tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que .]
Passo 1
Fala, galera! Tudo beleza?
A série de Taylor é da forma:
Onde a é a enésima derivada da nossa função no nosso ponto , que para nós é . A gente obtém esse termo derivando nossa função vezes.
Os termos da série de Taylor são do formato:
A questão quer que a gente encontre a série de Taylor de que no nosso caso é:
Centrada em e seu raio de convergência .
Então precisamos encontrar derivando várias vezes e depois escrever os termos da série.
Por fim, quando a gente precisar encontrar o Raio de convergência, o que precisamos achar é basicamente para quais valores de nossa série vai convergir. Como a série em questão que será uma série de Taylor e já vimos ali em cima que ela vai ter um termo fatorial, vamos usar o Teste da Razão, pois simplifica bastante nossa vida nesses casos. Relembrando o Teste: Calculamos o limite:
Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para ) e caso o teste é inconclusivo.
Bora pro passo a passo!
Passo 2
O enunciado nos deu que:
E que:
Agora vamos achar os valores de:
Para cada derivada de
é a ordem da derivada. Então quando temos a própria função, já que ainda não foi derivada. Quando é a primeira derivada, quando temos a segunda derivada que é a derivada de derivada mais uma vez, e assim sucessivamente.
Como são muitas derivadas, vamos organizar tudo em uma lista. Aqui é o valor da função derivada vezes e é com .
Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir , neste caso
Com , temos a própria função:
Com , temos a primeira derivada:
Com , temos a segunda derivada:
Com , temos a terceira derivada:
Com , temos a quarta derivada:
E assim sucessivamente.
Podemos achar o padrão, de forma geral para as derivadas pares:
E para as ímpares:
Ou seja, só teremos termos onde é par, já que os termos para ímpar são nulos.
Passo 3
Vamos substituir os valores que encontramos no formato da série de Taylor:
Com:
E:
Substituindo:
Escrevendo os termos da nossa série, ficamos com:
Nota ali nos termos que nosso expoente vai ser sempre . Então temos que a série de Taylor para :
Passo 4
Agora vamos aplicar o Teste da Razão para achar a convergência da série:
Vamos ter:
E com :
Temos que calcular:
Então já vamos escrever essa divisão de frações como uma multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda:
Ufa! Quantos termos, né? Temos bastante coisa pra simplificar aqui. Vamos começar abrindo as somas de expoentes usando a propriedade: e já podemos simplificar os termos:
Agora podemos abrir os termos fatoriais e simplificando:
Bora aplicar o limite. Já podemos tirar do módulo já que o termo com está ao quadrado então será sempre positivo:
Passo 5
Nosso limite é . O teste da razão diz que para que a série seja convergente . Então aqui vamos precisar que e isso é verdade para qualquer valor de .
Como não temos nenhuma restrição para o valor de na nossa série, seu raio de convergência é: