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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 41

Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que L < r < 1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n n < r quando n ≥ N .]

Passo 1

(i) Pessoal, seguindo a dica do enunciado para a parte (i), nós obtemos, para n ≥ N :

a n n < r

a n < r n

Como a série geométrica ∑ n = 1 ∞ r n converge (já que temos 0 < r < 1 ), então a série ∑ n = N ∞ a n também converge, pelo Teste da Comparação.

Assim, a série ∑ n = 1 ∞ a n também converge, de forma que a série ∑ n = 1 ∞ a n é absolutamente convergente.

Passo 2

(ii) Se tivermos lim n → ∞ ⁡ a n n = L > 1 , então existe um inteiro N tal que a n n > 1 para todo n ≥ N , e então a n > 1 para n ≥ N .

Assim, lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , de forma que a série ∑ n = 1 ∞ a n diverge pelo Teste para Divergência.

Passo 3

(iii) Considere a série ∑ n = 1 ∞ 1 n , que diverge, e a série ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 , que converge. Para ambas as séries, teremos lim n → ∞ ⁡ a n n = 1 , o que mostra que o Teste da Raiz é inconclusivo nesse caso.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine se a série 1 - 1 ⋅ 3 3 ! + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 5 ! -1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 7 ! + … + - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n - 1 ! + … é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Determine se a série ∑ n = 1 ∞ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n n ! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?d) ∑ n = 1 ∞ n 1 + n 2
Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?b) ∑ n = 1 ∞ n 2 n