Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 16
Encontre o valor mínimo de sujeito a restrição Mostre que não tem valor máximo com essa restrição.
Passo 1
Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.
A gente tem a função:
E queremos encontrar o seu valor mínimo, dentro da restrição:
Faremos isso utilizando os multiplicadores de Lagrange.
Bom, pelos multiplicadores de Lagrange temos que encontrar:
Isso é, devemos satisfazer essa igualdade entre os gradientes dessas funções. Com isso teremos um sistema, que ao ser resolvido em conjunto com a equação da restrição, nos trará pontos críticos.
Esses pontos serão testados na equação da função , e lá iremos encontrar qual o menor valor.
Para provarmos que não existe pontos de máximo, iremos utilizar o teste da segunda derivada:
Com isso, a gente analisa as seguintes proposições:
- Se e , então é um mínimo local;
- Se e , então é um máximo local;
- Se , não é nem máximo e nem mínimo local.
Passo 2
Nesse caso temos que encontrar os gradientes:
Devemos então derivar em relação a cada variável e considerar as outras variáveis como constantes:
Teremos então:
E
Agora para :
encontrando as derivadas parciais:
E
E
Temos então a nossa igualdade:
Igualando todas as coordenadas para satisfazer a igualdade de vetores:
Agora vamos isolar o
Passo 3
Igualando os vetores a gente tem:
Então:
E
Então:
Agora a gente substitui na restrição :
Então o único ponto possível é:
Passo 4
Vamos testar o valor da função nesse ponto:
Vamos verificar se esse é o valor máximo ou mínimo da função. Para isso teremos que utilizar o teste da segunda derivada:
Temos que calcular as segundas derivadas:
Então o para qualquer valor.
E também, então temos um valor mínimo aí.
Veja que se substituirmos o ponto na restrição, encontramos , então não poderíamos aumentar o valor dos pontos.
Ou seja, nessa restrição não temos um valor de máximo, apenas o mínimo .