Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 29
Determine se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Fala aí, pessoal!
A questão nos pede para determinar se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Uma série é chamada absolutamente convergente se a soma de seus termos em módulo for convergente, isto é, se nós pegarmos a soma dos valores absolutos dos infinitos termos da série dada e essa soma for um número real, a série é chamada de absolutamente convergente.
Por outro lado, ela é chamada de condicionalmente convergente se ela convergir, ou seja, se a soma tender a um número real, mas, ao mesmo tempo, não for absolutamente convergente.
Por último, a série é divergente se a soma de seus termos tender ao infinito positivo ou negativo.
Existe um teorema que diz o seguinte: se uma série for absolutamente convergente, então ela é convergente.
E, para determinarmos se uma série é absolutamente convergente, nós usaremos o Teste da Razão, que diz o seguinte:
- Se , então a série é absolutamente convergente e, portante, converge.
- Se ou se , então a série dada é divergente.
- Se , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.
Nós usaremos este teste para concluir se a série dada é absolutamente convergente ou não.
Passo 2
Então, pessoal, vamos determinar a expressão para a divisão absoluta para nós podermos usar o Teste da Razão.
A expressão do n-ésimo termo da série nos foi dado na questão:
Nós podemos ver que o numerador de an é o produto dos n primeiros números pares positivos e o denominador é o produto dos n primeiros inteiros positivos. Dessa forma, nós podemos reescrever a expressão do termo da série da seguinte maneira:
Observe que o número 2 está sendo multiplicado n vezes no numerador. Assim, segue que:
Mas, por definição, o produto é igual a . Portanto, temos que:
Nós determinamos o (n + 1)-ésimo termo substituindo n por n + 1 na expressão de an:
Galera, veja que tanto quanto são números positivos, pois estamos multiplicando o número 2 n e n + 1 vezes nessas expressões, respectivamente. Logo, a razão é positiva e seu módulo não altera seu sinal.
Assim, temos que:
Passo 3
Determinada a razão , precisamos determinar seu limite quando n tende ao infinito. Veja que, por se tratar de uma constante, o valor de é sempre igual a 2, independente do valor de n. Logo,
E segue do Teste da Razão que a série dada é divergente.
Resposta
A série diverge pelo Teste da Razão.