Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 35b

Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?

b)

Passo 1

Fala aí, galera! Esta questão nos pede para verficar se o Teste da Razão é conclusivo ou não para a série dada. O Teste da Razão nos diz que:

Se , então a série é absolutamente convergente e, portante, converge.
Se ou se , então a série dada é divergente.
Se , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.

Assim, para resolvermos o problema, precisamos determinar as expressões para o n-ésimo e (n+1)-ésimo termo da série, escrever a divisão e, então, tirar o módulo dessa razão. Feito isso, nós calculamos o limite desse módulo quando n tende ao infinito e verficamos se o resultado é menor que, maior que, igual a 1 ou tende ao infinito.

Passo 2

O termo an já nos foi dado. Ele acompanha o símbolo de somatório. Logo,

O termo an+1, por sua vez, pode ser obtido substituindo n por n + 1 na equação acima. Assim, temos que:

Dessa forma, temos que:

Como , segue que e são números reais positivos. Sendo assim, temos que:

E o termo 2n pode ser simplificado na equação acima. Logo,

Passo 3

Então, galera, nós calculamos a razão . Agora, nós precisamos calcular seu limite quando n tende ao infinito:

Veja que, quando n cresce muito, o valor de 1/n se torna cada vez mais próximo de zero. Assim, o numerador da razão se aproxima cada vez mais de 1 e o limite acima tende a . Logo,

Como o limite é menor que 1, o Teste da Razão é conclusivo para este caso e podemos garantir que a série é absolutamente convergente, portanto ela converge.