Se R denota a reação do corpo a algum estímulo de intensidade x , a sensibilidade S é definida como a taxa de variação da reação em relação a x . Um exemplo acontece quando a luminosidade x de uma fonte de luz é aumentada e o olho reage descrevendo a área R da pupila. A fórmula experimental

R = (40 + 24 * x^(0,4)) / (1 + 4 * x^(0,4))

tem sido usada para modelar a dependência de R em x quando R é medido em milímetros quadrados em x em uma unidade apropriada de luminosidade.

(a) Encontre a sensibilidade.

(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico de R e S como funções de x . Comente sobre os valores de R e S em baixos níveis de luminosidade. Isso é o que você esperaria?

Passo 1

Opa, bora pra mais uma questão!

Temos uma formula que nos dá a área da pupila quando é exposto a luminosidade x :

R = 40 + 24 x 0,4 1 + 4 x 0,4

Onde R é medido em m m 2 e x na unidade apropriada de luminosidade. Sabendo disso a gente deve calcular a sensibilidade S que é a taxa de variação da reação em relação a x .

Tem ideia de como fazemos isso?

Foi dito que S é a variação de variação da reação em relação a x . Ou seja, escrevendo isso de forma infinitesimal

S = d R d x

Logo, se derivarmos R em relação a x vamos obter S .

Por sua vez, R se trata de uma fração de funções de x , dessa forma, para calcular a derivada de R podemos usar a regra do quociente.

f x = g x h x ,     f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Bora começar!

Passo 2

Primeiro vamos obter a função sensibilidade.

S = d R d x = d d x 40 + 24 x 0,4 1 + 4 x 0,4

Pra isso a gente usa a regra do quociente:

S =   d d x 40 + 24 x 0,4 · 1 + 4 x 0,4 - ( 40 + 24 x 0,4 ) · d d x ( 1 + 4 x 0,4 ) ( 1 + 4 x 0,4 ) 2

Calculando as derivadas pela regra da potencia...

S = 48 5 x - 3 5 · 1 + 4 x 0,4 - 40 + 24 x 0,4 · 8 5 x - 3 5 ( 1 + 4 x 0,4 ) 2  

A partir daqui vamos simplificar nosso resultado...

S = x - 3 5 · 48 1 + 4 x 0,4 - 8 40 + 24 x 0,4 5 ( 1 + 4 x 0,4 ) 2  

S = x - 3 5 · 48 + 192 x 0,4 - 32 0 - 192 x 0,4 5 ( 1 + 4 x 0,4 ) 2

Assim podemos simplificar x 0,4

S = x - 3 5 · - 272 5 ( 1 + 4 x 0,4 ) 2

S = - 54,4 x 3 5 ( 1 + 4 x 0,4 ) 2

Portanto, a sensibilidade é dada pela função:

S = - 54,4 x 3 5 ( 1 + 4 x 0,4 ) 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para responder a letra (b) a gente vai plotar o gráfico de R e S em função de x com a ajuda de uma ferramenta grafica:

No gráfico acima, a R x aparece em vermelho e sua derivada S ( x ) em azul. Pelo gráfico quanto menor o módulo da intensidade do estímulo x , mais a reação do corpo tende ao infinito e a sensibilidade tende ao infinito negativo à medida que a intensidade do estímulo tende a zero por valores maiores do que zero.

O que é esperado nesse caso, é que a descontinuidade da função permanece presente em sua derivada!

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

(a) Sensibilidade é dada pela função S = - 54,4 x 3 5 ( 1 + 4 x 0,4 ) 2   .

(b) Quanto menor o módulo da intensidade do estímulo x , mais a reação do corpo tende ao infinito e a sensibilidade tende ao infinito negativo à medida que a intensidade do estímulo tende a zero por valores maiores do que zero.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados