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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.4 - Ex. 7

Movimento de uma partícula No instante t , a posição de um corpo que se desloca ao longo do eixo s é s =   t 3 - 6 t 2 + 9 t   m .

  1. Determine a aceleração do corpo cada vez que a velocidade for nula.
  2. Determine o módulo da velocidade do corpo cada vez que a aceleração for nula.
  3. Determine a distância total percorrida pelo corpo de t = 0 a t = 2 .

Passo 1

Para resolvermos a letra a.) precisamos primeiramente encontrar v t que é a derivada de s t :

v t = t 3 - 6 t 2 + 9 t '

v t = 3 t 3 - 1 - 2 ∙ 6 t 2 - 1 + 9 t 1 - 1

v t = 3 t 2 - 12 t + 9

Em seguida, vamos encontrar em qual tempo a velocidade é nula,

3 t 2 - 12 t + 9 = 0

Utilizando Bhaskara:

t = 12 ± - 12 2 - 4 ∙ 3 ∙ 9 2 ∙ 3

t = 12 ± 144 - 108 6

t = 12 ± 36 6

t = 12 ± 6 6

t 1 = 3   s

t 2 = 1   s

Agora, precisamos encontrar a função a t que é a variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada de d v t d t .

a t = 3 t 2 - 12 t + 9 '

a t = 2 ∙ 3 t 2 - 1 - 12 t 1 - 1 + 0

a t = 6 t - 12

Substituindo os valores de t :

a 1 = 6 ∙ 1 - 12 = - 6   m / s 2

a 3 = 6 ∙ 3 - 12 = 6   m / s 2

Passo 2

Já na letra b.), vamos encontrar os tempos em que a aceleração é nula.

0 = 6 t - 12

6 t = 12

t = 2   s

Vamos calcular o módulo da velocidade nesse t = 2   s :

v 2 = 3 ∙ 2 2 - 12 ∙ 2 + 9

v 2 = 12 - 24 + 9 = 3   m / s

Passo 3

Para resolvermos a letra c.) vamos calcular a distância total percorrida pelo corpo no intervalo dado. No intervalo 0 < t < 1 o objeto se move para direita, enquanto no intervalo 1 < t < 2 o corpo se move para esquerda. Por isso

∆ s = s 2 - s 1 + s 1 - s 0

s 2 = 2 3 - 6 ∙ 2 2 + 9 ∙ 2 = 8 - 24 + 18 = 2   m

s 1 = 1 3 - 6 ∙ 1 2 + 9 ∙ 1 = 1 - 6 + 9 = 4   m

s 0 = 0 3 - 6 ∙ 0 2 + 9 ∙ 0 = 0   m

∆ s = 2 - 4   - 4 - 0

∆ s =   2 + 4 = 6   m

Resposta

  1. a 1 = - 6 m / s 2 ;   a 3 = 6   m / s 2
  2. v 2 = 3   m / s
  3. 6   m
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