Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 8

O bismuto-210 rem uma meia vida de dias.

(a) Uma amostra tem originalmente uma massa de mg. Encontre uma fórmula para a massa remanescente depois de dias.

(b) Encontre a massa remanescente depois de dias.

(c) Quando a massa se reduzirá a mg?

(d) Esboce o gráfico da função massa.

Passo 1

Oiee bora láa

Esse enunciado descreve um problema de decaimento radioativo do isótopo bismuto-210, que tem uma meia-vida de 5,0 dias. A partir daí queremos encontrar uma fórmula para a massa remanescente em função de em dias para uma amostra de .

Com essa função em mãos, queremos encontrar a massa depois de dias, o tempo quando a massa cai para e esboçar o gráfico da função.

Parece complicado?

Fórmula para a massa remanescente depois de dias é dada pela formula do Teorema 2:

O tempo de meia-vida em questão é a cada dias, isso significa que a cada dias a massa ( com em dias) do elemento é reduzida pela metade. Se a massa inicial do elemento é mg.

Como a taxa de decaimento relativa é sempre constante, podemos relacionar massa do bismuto-210 com uma equação do Teorema 2.

veja só!

Passo 2

Neste caso, , mg, é o tempo em dias e é a taxa de decaimento relativo que pode ser calculada com os dados fornecidos.

Sabemos que quando dias a massa remanescente do bismuto-210 é a metade da massa inicial, ou seja, .

Logo, podemos aplicar na equação exponencial:

Para :

Como aparece multiplicando os dois lados, podemos simplifica-lo.

Agora temos que manipular essa equação para encontrar o valor de .

Isolando em um lado da igualdade:

Logo, a função para a massa remanescente depois de dias é:

Ou, simplificando:

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Depois de obter a fórmula para a massa remanescente , podemos substituir dias na fórmula e calcular a massa remanescente.

A massa remanescente depois de dias corresponde a , então:

Resolvento essa equação...

(mg)

Logo, a massa após 30 dias é de 12,5 mg.

Bacana, não é?

Passo 4

Podemos resolver a equação mg para encontrar o tempo necessário para que a massa se reduza a 1 mg. Isso nos dará o tempo necessário para atingir esse valor específico.

A massa se reduzirá a mg quando mg, ou seja:

Vamos manipular essa igualdade para isolar em um lado.

Aplicando nos dois lados...

Pela propriedade do expoente no , temos:

Finalemente isolando em um lado da igualdade...

dias

Logo, a massa reduzirá a mg em aproximadamente dias.

Show?

Passo 5

Por fim, temos que representar a curva de ...

Quando a curva corta o eixo .
Perceba que a função está na forma , então pelo fato de estar negativo, a função é uma exponencial decrecente.
Quando tende a , tende a , mas nunca de fato é .
E como calculamos anteriormente, quando , .