Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 10
10) Uma amostra de trítio-3 decai para % de sua quantidade original depois de um ano.
(a) Qual é a meia-vida do trítio-3?
(b) Quanto tempo levaria para a amostra decair para de sua quantidade original?
Passo 1
Oi galerinha, bora resolver mais uma comigo??
O enunciado apresenta uma situação envolvendo o decaimento radioativo de uma amostra de trítio-3. O trítio-3 é um isótopo radioativo do hidrogênio com uma meia-vida conhecida.
(a) Qual é a meia-vida do trítio-3?
A meia-vida de um isótopo radioativo é o tempo necessário para que metade de uma amostra desse isótopo decaia. No caso do trítio-3, o enunciado nos diz que a amostra decaiu para 94,5% de sua quantidade original após um ano.
Portanto, para encontrar a meia-vida do trítio-3, precisamos determinar quanto tempo leva para que a quantidade restante da amostra seja igual a 50% da quantidade original (ou seja, 0,5 vezes a quantidade original).
(b) Quanto tempo levaria para a amostra decair para 20% de sua quantidade original?
Essa parte da pergunta está pedindo para determinar quanto tempo levaria para que a quantidade restante da amostra de trítio-3 seja igual a 20% da quantidade original (ou seja, 0,2 vezes a quantidade original).
Isso nos permite usar a meia-vida do trítio-3 para calcular quanto tempo seria necessário para que a amostra decaia para esse valor.
Passo 2
Letra a:
O tempo de meia-vida é o tempo necessário para uma perder metade de sua massa original. Nos foi dado o tempo em que o trítio-3 chega a % de sua quantidade original que é um ano.
Como a taxa de decaimento relativa () é sempre constante, podemos relacionar massa do trítio-3 com uma equação exponencial do tipo:
Nessa equação, é a massa do trítio-3 em função do tempo em anos e é a massa inicial da amostra.
Precisamos achar, primeiramente, o e para isso sabemos que em um ano trítio-3 chega a % da amostra inicial, logo:
Passo 3
Vamos agora aplicar isso na equação exponencial:
Como queremos o tempo necessário para a massa chegar a metade, nós queremos o para que , aplicando isso na equação exponencial temos:
(Anos)
Logo, o tempo de meia vida do trítio-3 é de aproximadamente anos.
Passo 4
Letra b:
Se queremos o tempo para a amostra decair para de sua quantidade original então queremos o em anos em que , então:
(Anos)
Logo, o tempo para a amostra decair para de sua quantidade original é de aproximadamente anos.
Resposta
(a) O tempo de meia vida do trítio-3 é de aproximadamente anos.
(b) O tempo para a amostra decair para de sua quantidade original é de aproximadamente anos.