Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 63

A densidade linear de uma barra de comprimento m é dada por medida em quilogramas por metro, em que é medido em metros a partir de uma extremidade da barra. Ache a massa total da barra.

Passo 1

Eaee, belezinha???

Bom, o enunciado nos diz que uma barra tem metros de comprimento e que sua densidade linear é dada pela seguinte função:

Onde é medido em metros a partir de uma extremidade da barra.

Queremos encontrar a massa total de uma barra.

Vamos lá... sabemos que a densidade é igual a derivada da massa, assim, para achar a massa devemos integrar a densidade:

E usar os limites de integração de a , que é o comprimento da barra. Assim nossa ingral se torna:

E assim encontraremos a massa que estamos precisando.

Passo 2

Dessa forma, vamos substituir a função da densidade em nossa integração e ficaremos com:

Agora nossa preocupação será em resolver essa integral. Vamos reescrever a função colocando a raiz em forma de potência de expoente fracionário. Assim:

E podemos separar nossa integral em duas partes já quee temos dois temos em nossa função.

Perfeito. Vamos à integração.

Passo 3

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

Assim,

E resolvendo, teremos:

Show.

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

Isso siguinifica que devemos substituir os limites de integração na função, um de cada vez e fazer a subtração do que encontrarmos em cada uma. Vem que te mostro.