Calcule.

59- ∫ 0 1 3 x e x   d x

Passo 1

Galerinha, para resolver essa integral nós temos que nos lembrar de duas coisas. A primeira é o 1 ° teorema fundamental do cálculo:

Se for integrável em [ a ,   b ] e se F for uma primitiva de f em [ a ,   b ] , então

∫ a b f x   d x = F b - F ( a )

A outra coisa é uma propriedade exponencial:

a log a ⁡ b = b

Então o que vamos fazer aqui é integrar f ( x ) para encontrar a nossa primitiva F ( x ) , e depois substituir os limites de integração.

E aí, bora começar ?!

Passo 2

Cara, a gente não sabe resolver a integral da forma que ela está, então, vamos dar uma melhorada nela!

Vamos começar aplicando e ln ⁡ f x na função para depois aplicar a propriedade exponencial,

∫ 0 1 3 x e x d x = ∫ 0 1 e ln ⁡ 3 x e ln ⁡ e x   d x

Aplicando, a log a ⁡ b = b , ficamos com,

= ∫ 0 1 e ln ⁡ 3 x e x   d x = ∫ 0 1 e ln ⁡ 3 x + x   d x

Olha, pode até parecer que a integral está mais difícil, mas agora vai ser tranqs de resolver.

Passo 3

Agora, nós temos que lembrar de uma regrinha específica pra resolver essas integrais:

∫ e a x = e a x a

Onde a é a nossa constante.

A nossa integral é a seguinte:

∫ 0 1 e ln ⁡ 3 x + x   d x

Lembre-se que:

log b ⁡ a x = x log b ⁡ a

Assim,

∫ 0 1 e x ( ln ⁡ 3 + 1 )   d x

Como x é a nossa variável e ( ln ⁡ 3 + 1 ) é a nossa constante, temos:

∫ 0 1 e x ( ln ⁡ 3 + 1 )   d x = e x ( ln ⁡ 3 + 1 ) l n   3 + 1     0 1

Passo 4

Utilizando o primeiro teorema fundamental do cálculo, obtemos:

e l n 3 × e l n   3 + 1 - e 0 ln ⁡ 3 + 1 = 3 e l n   3 + 1 - 1 ln ⁡ 3 + 1 = 3 e - 1 ln ⁡ 3 + 1

Fim!

Resposta

3 e - 1 l n   3 + 1

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