Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 54

int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) + (1)/(2) . cos (2 x) d x

Passo 1

Galerinha, para resolver essa integral nós temos que nos lembrar de uma coisa, o 1 ° teorema fundamental do cálculo:

Se for integrável em [ a , b ] e se F for uma primitiva de f em [ a , b ] , então

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Então o que vamos fazer aqui é integrar f ( x ) para encontrar a nossa primitiva F ( x ) , e depois substituir os limites de integração.

Bora lá!

Passo 2

Antes de integrar, vamos dar uma mexida na função para ela ficar com uma cara mais de integrar?!

Separando a integral em duas, ficamos com

int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) d x + int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) . cos (2 x) d x

A primeira a gente resolver de forma direta né!

int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) d x = [(1)/(2) x]

Na segunda temos que usar uma de nossas técnicas da integração.

Passo 3

Para resolver essa integral

int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) . cos (2 x) d x

Vamos fazer uma substituição simples, onde:

u = 2 x

d u = 2 d x -> (d u)/(2) = d x

Fazendo a substituição, ficamos com

int cos u d u = se n u

Voltando de u para 2 x , temos que

int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) . cos (2 x) d x = [ se n 2 x ]

Agora vamos juntas as integrais e calcular o limite de integração

Passo 4

Então temos que,

int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) + (1)/(2) . cos (2 x) d x = [(1)/(2) x + se n 2 x] ((pi)/(2))/(0)

Substituindo,

= ((1)/(2) ((pi)/(2)) + se n 2 ((pi)/(2))) - ((1)/(2) (0) + se n 2 (0)) = (pi)/(4)

Resposta

int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) + (1)/(2) . cos (2 x) d x = (pi)/(4)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma população de bactérias é de 4000 no tempo t = 0 e sua taxa de crescimento é de 1000 ∙ 2 t bactérias por hora depois de t horas. Qual é a população depois de uma hora?
Calcule a integral: ∫ 0 1 x 10 + 10 x d x
Calcule a integral: ∫ 0 1 5 x - 5 x d x
A velocidade de um carro foi lida de seu velocímetro em intervalos de 10 segundos e registrada na tabela. Use a Regra do Ponto Médio para estimar a ditância percorrida pelo carro.
A seguir, está ilustrada a potência consumida na cidade de Ontário, Canadá, em 9 de dezembro de 2004 (P é medida em megawatts; t é medido em horas a partir da meia-noite). Usando o fato de que a potên