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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 62a

62. Derivada d t d x no Exemplo 4

a. Demonstre que:

f x = x a 2 + x ²

é uma função crescente de x .

Passo 1

a) Para fazermos essa demonstração, temos que entender quando uma função é crescente ou decrescente, ok? Uma função f ( x ) é crescente se sua derivada primeira for maior do que zero, isto é, f ' x > 0 . Ademais, essa mesma função f ( x ) é decrescente se sua derivada primeira for menor do que zero, isto é, f ' x < 0 . Derivando a função que nos foi dada, teremos:

f ' x = u ' . v - u . v ' v ²

Sim, teremos que utilizar a regra do quociente para resolver esse trem aí! Continuando, temos:

u = x ⇒ u ' = 1

v = a 2 + x ² ⇒ v ' = 1 2 . a 2 + x 2 - 1 2 . 2 x

Substituindo na regra do quociente, teremos:

f ' x = 1 . a 2 + x ² - x . x a 2 + x ² ( a 2 + x 2 )

∴ f ' x = a ² a 2 + x 2 3 2 > 0

Então fica provado que f ( x ) é, de fato, uma função crescente de x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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