Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 32
Um determinado lago pode suportar até peixes e a taxa de crescimento da população de peixes é conjuntamente proporcional ao número de peixes presentes e à diferença entre e o número de peixes existentes. Qual deve ser o tamanho da população para que a taxa de crescimento seja máxima?
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Passo 2
Esse problema parece bastante com o problema anterior! Dá uma sacada lá pra ver se você entende a ideia.
O problema nos diz que a taxa de crescimento da população é conjuntamente proporcional à quantidade de peixes presentes e à diferença entre 14.000 e a quantidade de peixes que existe. Vamos chamar essa quantidade de peixes de e vamos chamar de a função que descreve a taxa de crescimento da população. Se e são conjuntamente proporcionais:
Essa é a função que devemos maximizar! E o intervalo fechado que estamos analisando ela é o já que é o máximo de peixes. Observe também que esses dois valores (0 e 14.000) são zeros de . Ou seja . E pelo teorema do valor extremo, isso quer dizer que teremos o máximo que estamos procurando no interior desse intervalo!
Passo 3
Agora vamos derivar e igualar sua derivada a
Igualando a 0:
Então temos que a taxa máxima de reprodução dos peixes quando temos peixes dentro do aquário.
Resposta
peixes.