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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 13

Derive.

y = x 2 + 1 x 3 - 1

Passo 1

Falaii galerinha do RA, bora resolver mais uma comigo?

Vamos usar a regra do quociente para derivar a função

y = x 2 + 1 x 3 - 1

Primeiro, vamos escrever a função na forma y = f x g x , onde

f x = x 2   +   1   e     g ( x )   =   x 3   -   1 .

Passo 2

Agora, usamos a regra do quociente para derivar a função:

A regra do quociente nos diz que a derivada de y   em relação a x é dada por:

d d x f x g x = g x ⋅ f ' x - f x ⋅ g ' x g x 2

Vamos calcular as derivadas de f x   e   g ( x ) :

  • f ' x = d d x x 2 + 1 = 2 x
  • g ' x = d d x x 3 - 1 = 3 x 2

Agora, substituímos esses valores na fórmula da derivada do quociente:

d d x x 2 + 1 x 2 - 1 = x 3 - 1 ⋅ 2 x - x 2 + 1 ⋅ 3 x 2 x 3 - 1 2

Passo 3

Iremos simplificar a derivada

Expandindo os termos:

= 2 x 4 - 2 x - 3 x 4 - 3 x 4 - 3 x 2 x 3 - 1 2

Agrupando termos semelhantes:

= - 5 x 4 - 3 x 2 - 2 x x 3 - 1 2

Essa é a forma simplificada da derivada da função y em relação a x

Resposta

y ' = - 5 x 4 - 3 x 2 - 2 x x 3 - 1 2

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Calcule a derivada da função f ( x ) : (a) multiplicando e então derivando e depois (b) usando a regra do produto. Verifique que (a) e (b) dão o mesmo resultado. f x = ( x + 1 ) ( 2 x - 1 )
Encontre f ' ( x ) :f (x) = ( x - 2 ) (x^2 + 2 x + 4)
Encontre f ' ( x ) :f (x) = (2 x^2 + 5)/(3 x - 4)
Encontre f ' ( x ) :f (x) = (x^2)/(3 x - 4)
Encontre ((d y)/(d x)|_x = 1 :y = ( 2 x^7 - x^2 ) ((x - 1)/(x + 1))