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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 24

Encontre ((d y)/(d x)|_x = 1 :

y = ( 2 x^7 - x^2 ) ((x - 1)/(x + 1))

Passo 1

Primeiro, vamos derivar para depois substituir x por 1 no resultado, ok?

Para encontrar a derivada dessa função, vamos multiplicar os dois termos e usar a regra do quociente:

y = ( 2 x^7 - x^2 ) ((x - 1)/(x + 1))

Multiplicando:

y = (2 x^8 - 2 x^7 - x^3 + x^2)/(( x + 1 ))

Pela regra do quociente:

f^' (x) = ((2 x^8 - 2 x^7 - x^3 + x^2)^' (x + 1) - (2 x^8 - 2 x^7 - x^3 + x^2) (x + 1)^')/((x + 1)^2)

f^' (x) = ((16 x^7 - 14 x^6 - 3 x^2 + 2 x) (x + 1) - (2 x^8 - 2 x^7 - x^3 + x^2) (1))/((x + 1)^2)

f^' (x) = (16 x^8 + 16 x^7 - 14 x^7 - 14 x^6 - 3 x^3 - 3 x^2 + 2 x^2 + 2 x - 2 x^8 + 2 x^7 + x^3 - x^2)/((x + 1)^2)

:.

f^' (x) = (14 x^8 + 4 x^7 - 14 x^6 - 2 x^3 - 2 x^2 + 2 x)/((x + 1)^2)

Passo 2

Agora, falta só substituir x por 1 na derivada que encontramos:

f^' (x) = (14 x^8 + 4 x^7 - 14 x^6 - 2 x^3 - 2 x^2 + 2 x)/((x + 1)^2)

f^' (1) = (14 xx 1^8 + 4 xx 1^7 - 14 xx 1^6 - 2 xx 1^3 - 2 xx 1^2 + 2 xx 1)/(( 1 + 1 )^2) = (2)/(2^2) = (1)/(2)

Pronto!

Resposta

f^' (1) = (1)/(2)

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