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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 14

Derive.

y = x 2 + x

Passo 1

Falaii galerinha do RA, bora resolver mais uma comigo?

Vamos usar a regra do quociente para derivar a função

y = x 2 + x

Primeiro, vamos escrever a função na forma y = f x g x , onde

f x = x   e     g x =   2 + x

Passo 2

Agora, usamos a regra do quociente para derivar a função:

A regra do quociente nos diz que a derivada de y   em relação a x é dada por:

d d x f x g x = g x ⋅ f ' x - f x ⋅ g ' x g x 2

Vamos calcular as derivadas de f x   e   g ( x ) :

  • f ' x = d d x x = 1 2 x   ( p e l a   r e g r a   d a   p o t ê n c i a )
  • g ' x = d d x 2 + x = 1

Agora, substituímos esses valores na fórmula da derivada do quociente:

d d x x 2 + x = 2 + x ⋅ 1 2 x - x ⋅ 1 2 + x 2

Passo 3

Iremos simplificar a derivada

Expandindo os termos:

d d x x 2 + x = 2 + x ⋅ 1 2 x - x ⋅ 1 2 + x 2

d d x x 2 + x = 2 + x ⋅ 1 2 x - x 2 + x 2

= 1 2 x - x 2 + x 2

= 1 2 x - x ( 2 + x ) 2 + x 2

= 1 2 x - x ( 2 + x ) 2 x 2 + x

= 1 2 x - x 2 x 2 + x

y ' = 1 2 x - 1 2 2 + x

Essa é a forma simplificada da derivada da função y em relação a x

Resposta

y ' = 1 2 x - 1 2 2 + x

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