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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 20

Derive.

y = (z^2 + e^z) sqrt(z)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente derivar a função y = (z^2 + e^z) sqrt(z) .

Observe que temos um produto de potências de z , então vamos relembrar a regra do produto e da potência na derivação, respectivamente:

(f g)^' = f g^' + g f^'

(d)/(d x) (x^n) = n x^(n - 1)

Então, vamos aplicar essas regrinhas na nossa função e encontrar a sua derivada.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra do produto para calcular a nossa derivada:

y^' = (z^2 + e^z) (sqrt(z))^' + sqrt(z) (z^2 + e^z)^'

Observe que sqrt(z) = z^(1 // 2) , então podemos aplicar a regra da potência na derivação dele:

y^' = (z^2 + e^z) ((1)/(2) z^((1)/(2) - 1)) + sqrt(z) (z^2 + e^z)^'

Da mesma forma, aplicando a regra da potência em z^2 e lembrando que a derivada da exponencial e^z é igual a ela mesma, temos:

y^' = (z^2 + e^z) ((1)/(2) z^((1)/(2) - 1)) + sqrt(z) (2 z^(2 - 1) + e^z)

Arrumando os expoentes:

y^' = (z^2 + e^z) ((1)/(2) z^(- (1)/(2))) + sqrt(z) (2 z^1 + e^z)

y^' = (z^2 + e^z) ((1)/(2 sqrt(z))) + sqrt(z) ( 2 z + e^z )

Aplicando a propriedade distributiva nos produtos:

y^' = (z^2)/(2 sqrt(z)) + (e^z)/(2 sqrt(z)) + 2 z sqrt(z) + sqrt(z) e^z

Simplificando os expoentes de mesma base, temos:

y^' = (z^((3)/(2)))/(2) + (e^z)/(2 sqrt(z)) + 2 z^((3)/(2)) + sqrt(z) e^z

y^' = (5)/(2) z^(3 // 2) + (e^z)/(2 sqrt(z)) + sqrt(z) e^z

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y^' = (5)/(2) z^(3 // 2) + (e^z)/(2 sqrt(z)) + sqrt(z) e^z

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Encontre a derivada. Simplifique quando possível.G (x) = (1 - cosh x)/(1 + cosh x)
(a) Se f x = sec ⁡ x - x , encontre f ' ( x ) .(b) Verifique que sua resposta para a parte (a) é razoável fazendo os gráficos de f e f ' para xπ / 2 .
(a) Use a regra do quociente para derivar a função f x = tg ⁡ x - 1 sec ⁡ x (b) Simplifique a expressão para f ( x ) , escrevendo-a em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x , e então encontre f ' ( x ) (c) Most