Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 13
Use a definição de continuidade e as propriedades dos limites para mostrar que a função é contínua em um dado número .
Passo 1
Fala aí. Tudo certinho como você?
Bom, esse exercício da pra gente a função
E pede pra gente usar a definição de continuidade e as propriedades dos limites para mostrar que essa função é contínua para .
Então o que precisaremos aqui é saber o que torna uma função contínua em um ponto específico e verificar se isso acontece nessa função que temos aí.
E para que a função seja contínua no ponto a regra é essa aqui:
Uma função é contínua em um número se
Ou seja, aqui temos três condições.
precisar estar definida em (isto é, está no domínio de );
existe;
(o valor do limite é igual ao valor da função no ponto ).
Se isso estiver acontecendo para a função no ponto dado no enunciado, então ela será contínua. Beleza?
Então, bora ver tudo isso acontecendo!
Passo 2
Vamos começar verificando se a função está definida em .
Nossa função é
E fazendo , teremos:
Logo a função está definida em e seu valor é
Show. Agora vamos analisar o limite.
Passo 3
Precisamos calcular o limite de:
Aqui podemos aplicar a regra de limite de raiz, passando o limite diretamente para o radicando
Assim, podemos fazer.
Passo 4
Agora, podemos usar o limite da soma ou diferença que diz:
Então:
Passo 5
Agora podemos calcular o limite substituindo o valor de na expressão. Com isso, temos:
E prontinho. Limite calculado.
Passo 6
Agora devemos confirmar a condição de continuidade da função no pondo , que diz que:
Lembrando que
E
Provamos que a função é mesmo contínua no ponto dado.
Resposta
é contínua em