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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 37

Derive as equações 1 para o caso π 2 < θ < π .

Passo 1

Para derivar as equações para o caso π 2 < θ < π , primeiro, vamos revisar as equações básicas do círculo. Em um círculo de raio r , as coordenadas ( x , y ) de um ponto na circunferência são dadas por:

x = r ⋅ c o s ( θ )

y = r ⋅ s e n ( θ )

A derivada de x em relação a θ :

d x d θ ​ = d ( r ⋅ c o s ( θ ) ) d θ = r ⋅ c o s ( θ )

d x d θ ​ = - s e n ( θ )

A derivada de y em relação a θ :

d y d θ ​ = d ( r ⋅ s e n ( θ ) ) d θ = r ⋅ s e n ( θ )

d y d θ ​ = c o s ( θ )

Passo 2

Agora basta substituir o intervalo nas derivadas.

Para θ = π 2

d x d θ ​ = - r . s e n   π 2   = - r

d y d θ ​ = r . c o s   π 2   = 0

Para θ = π

d x d θ ​ = - r . s e n   π   = 0

d y d θ ​ = r . c o s   π   = r

Resposta

O exercício pede para deduzirmos a equação paramétrica para a cicloide considerando π 2 < θ < π . Para isso, fazemos o seguinte desenho:

Resposta

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