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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 2

Derive a função

f ( x ) = ln ( x^2 + 10 )

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

f ( x ) = ln ( x^2 + 10 )

Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, onde temos que se:

F (x) = f ( g (x) )

Então:

F^' (x) = f^' (g (x)) . g ' ( x )

Também precisaremos da Regra da Potência onde temos que se:

f (x) = x^n

Onde n é uma constante.

Então:

f^' (x) = n x^(n - 1)

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Assim, aplicando a regra da cadeia, fazendo u = x^2 + 10 , temos:

f^' (x) = (d)/(d u) (ln u) (d)/(d x) (x^2 + 10) :.

f^' (x) = (1)/(u) * (d)/(d x) (x^2 + 10) :.

f^' (x) = (1)/(x^2 + 10) * (d)/(d x) (x^2 + 10)

Passo 3

Derivando (d)/(d x) (x^2 + 10) , temos:

(d)/(d x) (x^2 + 10) = 2 x^(2 - 1) + 0 :.

(d)/(d x) (x^2 + 10) = 2 x

Assim, substituindo em f^' (x) , temos:

f^' (x) = ((1)/(x^2 + 10)) 2 x :.

f^' (x) = ((2 x)/(x^2 + 10))

Veja que fora dos parênteses colocamos a derivada de ( x^2 + 10 ) , que vem pela regra da cadeia.

Resposta

f^' (x) = (2 x)/(x^2 + 10)

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