Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

38. y = (9 * x^2 - 6 * x + 2) * e^(x^3)

Passo 1

Então galera, de início notamos que se trata de um produto entre duas funções, não é mesmo? Sabendo disso, podemos pensar na regra do produto como um dos melhores métodos para resolver essa derivada. Lembrando que a regra do produto nos diz que:

y = g ( x ) . h ( x )

∴ y ' = g x ' . h x + g x . ( h x ) '

Escrevendo quem seria g e quem seria h , depois que encontrarmos suas derivadas, o resultado seria só substituir na regra comentada.

g x = ( 9 x 2 - 6 x + 2 )

h x = e x ³  

E uma outra coisa importante é sobre a derivada de uma função exponencial. Uma derivada desse tipo é dada pela regra:

( a f ( x ) ) ' = a f x . l n ⁡ a . ( f ( x ) ) '

Sabendo dessas informações, agora conseguimos resolver a derivada tranquilo. Bora lá!

Passo 2

Para encontrarmos g ' basta que utilizemos a regra mais tranquila de derivação, que é a da potenciação, conforme discutido no George. Se a utilizarmos, teremos:

g x ' = ( 9.2 . x 2 - 1 - 6 + 0 )

∴ g x ' = ( 18 x - 6 )

Passo 3

Para encontrarmos h ' basta que utilizemos a regra da derivada de uma função exponencial, conforme discutimos. Se liga como vai ficar a derivada desse trem:

h x ' = e x 3 . ln ⁡ e . 3 x ²

∴ h x ' = 3 x 2 . e x 3

Passo 4

Agora que temos g ' e h ' , vamos jogar seus resultados na regra do produto e encontrar y ' , se liga:

y ' = g x ' . h x + g x . ( h x ) '  

y ' = 18 x - 6 . e x 3 + 9 x 2 - 6 x + 2 . 3 x 2 . e x 3

∴ y ' = e x 3 [ 18 x - 6 + 3 x ² 9 x 2 - 6 x + 2 ]

Resposta

y ' = e x 3 [ 18 x - 6 + 3 x 2 . 9 x 2 - 6 x + 2 ]

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