Enunciado

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

33. y = ( 4 x + 3 ) 4 . ( x + 1 ) - 3

Passo 1

Então galera, de início notamos que se trata de um produto entre duas funções, não é mesmo? Sabendo disso, podemos pensar na regra do produto como um dos melhores métodos para resolver essa derivada. Lembrando que a regra do produto nos diz que:

y = g ( x ) . h ( x )

∴ y ' = g x ' . h x + g x . ( h x ) '

Escrevendo quem seria g e quem seria h , depois que encontrarmos suas derivadas, o resultado seria só substituir na regra comentada.

g x = ( 4 x + 3 ) 4  

h x = ( x + 1 ) - 3  

Passo 2

Para encontrarmos a derivada de g utilizaremos a regra da cadeia, se liga:

g x ' = 4 . 4 x + 3 4 - 1 . ( 4 x + 3 ) '

g x ' = 4 . 4 x + 3 3 . 4

∴ g x ' = 16 . ( 4 x + 3 ) ³

Passo 3

Para encontrarmos a derivada de h também só precisamos utilizar a regra da cadeia, olha só:

h x ' = - 3 . x + 1 - 3 - 1

∴ h x ' = - 3 . x + 1 - 4

Passo 4

Agora que encontramos g ' e h ' , basta substituirmos na regra do produto. Se fizermos isso, teremos o seguinte:

y ' = g x ' . h x + g x . ( h x ) '  

y ' = 16 . 4 x + 3 3 .   ( x + 1 ) - 3 + 4 x + 3 4 . ( - 3 . x + 1 - 4 )

y ' = 16 . 4 x + 3 3 .   ( x + 1 ) - 3 - 3 . 4 x + 3 4 . x + 1 - 4  

Colocando os termos semelhantes em evidência, teremos:

y ' = 4 x + 3 3 x + 1 4 [ 16 . x + 1 - 3 . 4 x + 3 ]  

∴ y ' = 4 x + 3 3 . ( 4 x + 7 ) x + 1 4  

Resposta

y ' = 4 x + 3 3 . ( 4 x + 7 ) x + 1 4

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