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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.5 - Ex. 53

Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível

y = cos - 1 ⁡ ( e 2 x )

Passo 1

Olá, meu grande amigo. Vamos juntos resolver essa atividade. Aqui, temos que derivar a função composta:

y = cos - 1 ⁡ ( e 2 x )

Como eu comentei, temos aqui uma função composta, temos uma função dentro de outra função. Nesses casos, utilizamos a regra da cadeia para realizar a derivação:

A regra da cadeia é:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

E para a gente, temos:

u x = e 2 x

E

y u x = cos - 1 ⁡ u x

Passo 2

Dando início a nossa derivação:

y u x = d d u x cos - 1 ⁡ u x ∙ d d x e 2 x

Temos que aplicar a regra novamente para:

d d x e 2 x = d d h x e h x ∙ d d x 2 x

d d x e 2 x = e 2 x ∙ 2

Voltando para a nossa derivada principal:

A derivada das funções trigonométricas é tabelada, temos que:

cos - 1 ⁡ x = - 1 1 - x 2

y u x = - 1 1 - e 4 x ∙ 2 e 2 x

Terminamos aqui então a nossa resolução.

Resposta

y ' = - 2 e 2 x 1 - e 4 x

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