Derive a função

y = [ln(1 + e^x)]^2

Passo 1

Bom galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada da seguinte função:

y = [ ln ⁡ ( 1 + e x ) ] 2

Podemos perceber que temos aí algumas funções, temos a função

f x = 1 + e x

Que está dentro da função

g x = ln ⁡ x

E tudo isso está sendo elevado ao quadrado, ou seja, tudo isso está dentro da seguinte função:

h x = x 2

Para calcular essa derivada vamos usar a Regra da Cadeia para funções compostas. Nesse caso, temos 3 funções, portanto, teremos o seguinte:

y = h g f x

y ' = f ' x g ' f x h ' g f x

Basicamente, a ideia aqui é ir derivando de dentro para fora e multiplicar todo mundo.

Passo 2

Bom, vamos lá então. Primeiro eu vou derivar a função de dentro.

f x = 1 + e x

f ' x = 0 + e x = e x

Até aí tudo tranquilo né. Derivada da constante é zero e derivada de e x é ele mesmo.

Agora, vamos derivar a função do meio.

g f x = ln ⁡ 1 + e x

g ' f x = 1 1 + e x

Aqui, nós usamos que a derivada do ln ⁡ x é 1 / x , mas como temos ln ⁡ 1 + e x , então a derivada disso vai ser 1 1 + e x .

E pra fechar, vamos derivar a função de fora.

h g f x = [ ln ⁡ ( 1 + e x ) ] 2

h ' g f x = 2 ln ⁡ 1 + e x

Aqui usamos a regra do potência, sabemos que x 2 quando derivado vira 2 x , portanto, ln ⁡ 1 + e x 2 vai virar 2 ln ⁡ 1 + e x .

Passo 3

Agora basta substituir tudo na nossa expressão da regra da cadeia.

y ' = f ' x g ' f x h ' g f x

y ' = e x 1 1 + e x 2 ln ⁡ 1 + e x

E agora organizando um pouquinho, obtemos:

y ' = 2 e x ln ⁡ 1 + e x 1 + e x

Resposta

y ' = e x 2 ln ⁡ ( 1 + e x ) 1 + e x

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