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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 17

Derive a função:

y = ( r^2 - 2 r ) e^r

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos derivar a seguinte função:

Y (u) = ( u^(- 2) + u^(- 3) ) ( u^5 - 2 u ² )

Para isso, precisaremos utilizar a regra do produto, já que a função é um produto de funções.

Sejam f e g duas funções deriváveis, então a derivada do produto entre as duas funções é dada por:

(f * g)^' = f g^' + f^' g

Também precisaremos da regra da soma/subtração, que é dada por:

(f +- g) ' = f^' +- g^'

Agora bora aplicar!!

Passo 2

Usando a regra do produto, temos:

y ' = ( r^2 - 2 r ) . (d)/(d r) (e^r) + e^r . (d)/(d r) ( r^2 - 2 r )

Agora, aplicando a regra da adição/subtração, temos:

y ' = (r^2 - 2 r) . (d)/(d r) (e^r) + e^r . [(d)/(d r) r^2 - (d)/(d r) 2 r]

A constante pode sair de dentro da derivada. Se lembram?

Dessa forma, temos:

y ' = (r^2 - 2 r) . (d)/(d r) (e^r) + e^r . [(d)/(d r) r^2 - 2 (d)/(d r) r]

Passo 3

Vamos relembrar da Regra da Potência:

Se n for um número real qualquer, então:

(d)/(d x) x^n = n x^(n - 1)

Assim, aplicando a regra da potência, temos:

y ' = (r^2 - 2 r) . (d)/(d r) (e^r) + e^r . [2 r - 2.1]

Passo 4

Para finalizar usamos a Derivada para a função exponencial:

(d)/(d x) e^x = e^x

Assim, aplicando a regra da exponencial:

y ' = (r^2 - 2 r) . e^r + e^r . [2 r - 2]

Abrindo a equação:

y ' = e^r (r^2 - 2 r + 2 r - 2)

y ' = e^r (r^2 - 2)

Sendo assim:

y ' = e^r (r^2 - 2)

Resposta

y ' = e^r (r^2 - 2)

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